Soient \left[ AB \right] un segment, C le milieu de \left[ AB \right] et CBDE un parallélogramme. On considère le point F tel que \overrightarrow{EF} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{EB}.
Représenter cette configuration sur une figure.
Exprimer le vecteur \overrightarrow{AF} en fonction des vecteurs \overrightarrow{ED} et \overrightarrow{EB}.
D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}+ \overrightarrow{EF}
Or on sait que C est le milieu de de \left[ AB\right], donc :
\overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{CB}
CBDE étant un parallélogramme, on en déduit que :
\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{ED}
L'égalité devient ainsi :
\overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{BE}+ \overrightarrow{EF}
Or, on sait que :
\overrightarrow{EF} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{EB}
Par conséquent :
\overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{ED} -\overrightarrow{EB}+ \dfrac{1}{3}\overrightarrow{EB}
Finalement :
\overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{ED} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{EB}
Exprimer le vecteur \overrightarrow{FD} en fonction des vecteurs \overrightarrow{ED} et \overrightarrow{EB}.
D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{FD} = \overrightarrow{FE} + \overrightarrow{ED}
Or on sait que :
\overrightarrow{EF} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{EB}
On en déduit que :
\overrightarrow{FD} = \overrightarrow{ED} -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{EB}
Montrer que les points A, F et D sont alignés.
D'après les questions précédentes, on sait que :
- \overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{ED} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{EB}
- \overrightarrow{FD} = \overrightarrow{ED} -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{EB}
On en déduit que :
\overrightarrow{AF}= 2\overrightarrow{FD}
Or, d'après le cours on sait que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u}= k \overrightarrow{v}.
On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{AF} et \overrightarrow{FD} sont colinéaires et donc que les droites \left( AF \right) et \left( FD \right) sont parallèles.
Ces 2 droites possédant un point en commun, elles sont confondues.
On peut donc conclure :
Les points A, F et D sont alignés.