Montrer que trois points sont alignés en utilisant les coordonnées Exercice

Pour vérifier si les points A, B et C sont alignés, on peut étudier les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC}.

On calcule donc les coordonnées de ces vecteurs :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6-2 \cr\cr -1-\left(-3\right) \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2 \end{pmatrix}
• \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{B} \cr\cr y_{C}-y_{B} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 8-6 \cr\cr 0-\left(-1\right) \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix}

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{BC} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}
Donc : \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BC}.

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont donc colinéaires.

Pour vérifier si les points A, B et C sont alignés, on peut étudier les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC}.

On calcule donc les coordonnées de ces vecteurs :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -5-1 \cr\cr 3-4 \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -6 \cr\cr -1 \end{pmatrix}
• \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{B} \cr\cr y_{C}-y_{B} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 2-\left(-5\right) \cr\cr 2-3 \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 7 \cr\cr -1 \end{pmatrix}

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{BC} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{7}{-6}\neq\dfrac{-1}{-1}

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} ne sont donc pas colinéaires.

Pour vérifier si les points A, B et C sont alignés, on peut étudier les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC}.

On calcule donc les coordonnées de ces vecteurs :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 7-\left(-1\right) \cr\cr -4-2 \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 8 \cr\cr -6 \end{pmatrix}
• \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{B} \cr\cr y_{C}-y_{B} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 6-7 \cr\cr 6-\left(-4\right) \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 10 \end{pmatrix}

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{BC} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{-1}{8}\neq\dfrac{10}{-6}

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} ne sont donc pas colinéaires.

Pour vérifier si les points A, B et C sont alignés, on peut étudier les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC}.

On calcule donc les coordonnées de ces vecteurs :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 0-\left(-9\right) \cr\cr 4-\left(-2\right) \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 9 \cr\cr 6 \end{pmatrix}
• \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{B} \cr\cr y_{C}-y_{B} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 6-0 \cr\cr 8-4 \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 4 \end{pmatrix}

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{BC} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{6}{9}=\dfrac{4}{6}

Donc : \overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}.

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont donc colinéaires.

Pour vérifier si les points A, B et C sont alignés, on peut étudier les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC}.

On calcule donc les coordonnées de ces vecteurs :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 5-\left(-3\right) \cr\cr 3-0 \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 8 \cr\cr 3 \end{pmatrix}
• \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{B} \cr\cr y_{C}-y_{B} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -1-5 \cr\cr 7-3 \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -6 \cr\cr 4 \end{pmatrix}

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{BC} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{-6}{8}\neq\dfrac{4}{3}

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} ne sont donc pas colinéaires.

Pour vérifier si les points A, B et C sont alignés, on peut étudier les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC}.

On calcule donc les coordonnées de ces vecteurs :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1-11 \cr\cr -1-3 \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -10 \cr\cr -4 \end{pmatrix}
• \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{B} \cr\cr y_{C}-y_{B} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 6-1 \cr\cr 1-\left(-1\right) \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 5 \cr\cr 2 \end{pmatrix}

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{BC} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{5}{-10}=\dfrac{2}{-4} Donc : \overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{BC}.

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont donc colinéaires.

Pour vérifier si les points A, B et C sont alignés, on peut étudier les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC}.

On calcule donc les coordonnées de ces vecteurs :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2-\left(-1\right) \cr\cr 1-2 \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}
• \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{B} \cr\cr y_{C}-y_{B} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -4-2 \cr\cr 3-1 \end{pmatrix}, c'est-à-dire \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -6 \cr\cr 2 \end{pmatrix}

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{BC} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{-6}{3}=\dfrac{2}{-1} Donc : \overrightarrow{AB}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}.

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont donc colinéaires.