Ordonner une liste de nombres donnés sous différentes écritures Exercice

On sait que, une fraction \dfrac{a}{b} étant donnée :

• Si a \lt b alors \dfrac{a}{b} \lt 1
• Si a \gt b alors \dfrac{a}{b} \gt 1

Ici, on a :
99 \lt 100 donc \dfrac{99}{100} \lt 1

Par ailleurs :

• 7 \gt 6 donc \dfrac{7}{6} \gt 1

• 5 \gt 3 donc \dfrac{5}{3} \gt 1
• 1+\dfrac{1}{3} \gt 1

On va donc comparer \dfrac{5}{3}, \dfrac{7}{6} et 1+\dfrac{1}{3}.

On sait que si \dfrac{a}{b} et \dfrac{a'}{b} sont deux fractions de même dénominateur, et si a \lt a' , alors : \dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a'}{b}

Par conséquent, pour comparer \dfrac{5}{3}, \dfrac{7}{6} et 1+\dfrac{1}{3}, on va écrire ces trois nombres sous la forme d'une fraction de dénominateur 6.

On a :

• \dfrac{5}{3}=\dfrac{5 \textcolor{Red}{\times 2}}{3\textcolor{Red}{\times 2}}=\dfrac{10}{6}
• 1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3+1}{3}=\dfrac{4}{3}=\dfrac{4\textcolor{Red}{\times 2}}{3\textcolor{Red}{\times 2}}=\dfrac{8}{6}

Ainsi, comparer \dfrac{5}{3}, \dfrac{7}{6} et 1+\dfrac{1}{3} revient à comparer \dfrac{10}{6}, \dfrac{7}{6} et \dfrac{8}{6}.

On remarque que 7 \lt 8 \lt 10 et on en déduit que \dfrac{7}{6} \lt \dfrac{8}{6} \lt \dfrac{10}{6}.

On en conclut que :
\dfrac{7}{6} \lt 1+\dfrac{1}{3} \lt \dfrac{5}{3}

Et comme on a démontré précédemment que \dfrac{99}{100} \lt 1 et \dfrac{7}{6} \gt 1, on obtient finalement :

On sait que, une fraction \dfrac{a}{b} étant donnée :

• Si a \lt b alors \dfrac{a}{b} \lt 1
• Si a \gt b alors \dfrac{a}{b} \gt 1

Ici, on a :

• 3 \lt 4 donc \dfrac{3}{4} \lt 1

• 4 \lt 5 donc \dfrac{4}{5} \lt 1

On va donc comparer \dfrac{3}{4} et \dfrac{4}{5}.

On sait que si \dfrac{a}{b} et \dfrac{a'}{b} sont deux fractions de même dénominateur, et si a \lt a' , alors : \dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a'}{b}

Par conséquent, pour comparer \dfrac{3}{4} et \dfrac{4}{5}, on va écrire ces deux nombres sous la forme d'une fraction de dénominateur 20.

On a :

• \dfrac{3}{4}=\dfrac{3 \textcolor{Red}{\times 5}}{4\textcolor{Red}{\times 5}}=\dfrac{15}{20}
• \dfrac{4}{5}=\dfrac{4\textcolor{Red}{\times 4}}{5\textcolor{Red}{\times 4}}=\dfrac{16}{20}

Ainsi, comparer \dfrac{3}{4} et \dfrac{4}{5} revient à comparer \dfrac{15}{20} et \dfrac{16}{20}.

On remarque que 15 \lt 16 et on en déduit que \dfrac{15}{20} \lt \dfrac{16}{20}.

On en conclut que :
\dfrac{3}{4} \lt \dfrac{4}{5}

Par ailleurs :

• 21 \gt 12 donc \dfrac{21}{12} \gt 1

• 1+\dfrac{4}{5} \gt 1\\

On va donc comparer \dfrac{21}{12} et 1+\dfrac{4}{5}.

On sait que si \dfrac{a}{b} et \dfrac{a'}{b} sont deux fractions de même dénominateur, et si a \lt a' , alors : \dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a'}{b}

Par conséquent, pour comparer \dfrac{21}{12} et 1+\dfrac{4}{5}, on va écrire ces deux nombres sous la forme d'une fraction de dénominateur 60.

On a :

• \dfrac{21}{12}=\dfrac{21 \textcolor{Red}{\times 5}}{12\textcolor{Red}{\times 5}}=\dfrac{105}{60}
• 1+\dfrac{4}{5}=\dfrac{5}{5}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{5+4}{5}=\dfrac{9}{5}=\dfrac{9\textcolor{Red}{\times1 2}}{5\textcolor{Red}{\times 12}}=\dfrac{108}{60}

Ainsi, comparer \dfrac{21}{12} et 1+\dfrac{4}{5} revient à comparer \dfrac{105}{60} et \dfrac{108}{60}.

On remarque que 105 \lt 108 et on en déduit que \dfrac{105}{60} \lt \dfrac{108}{60}.

On en conclut que :
\dfrac{21}{12} \lt 1+\dfrac{4}{5}

Et comme on a démontré précédemment que \dfrac{4}{5} \lt 1 et \dfrac{21}{12} \gt 1, on obtient finalement :

On sait que, une fraction \dfrac{a}{b} étant donnée :

• Si a \lt b alors \dfrac{a}{b} \lt 1
• Si a \gt b alors \dfrac{a}{b} \gt 1

Ici, on a :

• 1 \lt 3 donc \dfrac{1}{3 }\lt 1

• 33 \lt 100 donc \dfrac{33}{100} \lt 1

On va donc comparer \dfrac{1}{3} et \dfrac{33}{100}.

On sait que si \dfrac{a}{b} et \dfrac{a'}{b} sont deux fractions de même dénominateur, et si a \lt a' , alors : \dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a'}{b}

Par conséquent, pour comparer \dfrac{1}{3} et \dfrac{33}{100}, on va écrire ces deux nombres sous la forme d'une fraction de dénominateur 300.

On a :

• \dfrac{1}{3}=\dfrac{1 \textcolor{Red}{\times 100}}{3\textcolor{Red}{\times100}}=\dfrac{100}{300}
• \dfrac{33}{100}=\dfrac{33\textcolor{Red}{\times 3}}{100\textcolor{Red}{\times 3}}=\dfrac{99}{300}

Ainsi, comparer \dfrac{1}{3} et \dfrac{33}{100} revient à comparer \dfrac{100}{300} et \dfrac{99}{300}.

On remarque que 99 \lt 100 et on en déduit que \dfrac{99}{300} \lt \dfrac{100}{300}.

On en conclut que :
\dfrac{33}{100} \lt \dfrac{1}{3}

Par ailleurs :

• 4 \gt3 donc \dfrac{4}{3} \gt 1

• 17 \gt 12 donc \dfrac{17}{12}\gt1
• 2\gt 1

On va donc comparer \dfrac{4}{3}, \dfrac{17}{12} et 2.

On sait que si \dfrac{a}{b} et \dfrac{a'}{b} sont deux fractions de même dénominateur, et si a \lt a' , alors : \dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a'}{b}

Par conséquent, pour comparer \dfrac{4}{3}, \dfrac{17}{12} et 2, on va écrire ces trois nombres sous la forme d'une fraction de dénominateur 12.

On a :

• \dfrac{4}{3}=\dfrac{4 \textcolor{Red}{\times 4}}{3\textcolor{Red}{\times 4}}=\dfrac{16}{12}
• 2=\dfrac{2}{1}=\dfrac{2\textcolor{Red}{\times1 2}}{1\textcolor{Red}{\times 12}}=\dfrac{24}{12}

Ainsi, comparer \dfrac{4}{3}, \dfrac{17}{12} et 2 revient à comparer \dfrac{16}{12}, \dfrac{17}{12} et \dfrac{24}{12}.

On remarque que 16 \lt 17 \lt24 et on en déduit que \dfrac{16}{12} \lt \dfrac{17}{12}\lt\dfrac{24}{12}.

On en conclut que :
\dfrac{4}{3} \lt \dfrac{17}{12} \lt 2

Et comme on a démontré précédemment que \dfrac{1}{3} \lt 1 et \dfrac{4}{3} \gt 1, on obtient finalement :

On sait que, une fraction \dfrac{a}{b} étant donnée :

• Si a \lt b alors \dfrac{a}{b} \lt 1
• Si a \gt b alors \dfrac{a}{b} \gt 1

Ici, on a :

• 3 \lt 4 donc \dfrac{3}{4 }\lt 1

• 4 \lt 5 donc \dfrac{4}{5} \lt 1

• 0{,}2\lt1

On va donc comparer 0,2, \dfrac{3}{4} et \dfrac{4}{5}.

On sait que si \dfrac{a}{b} et \dfrac{a'}{b} sont deux fractions de même dénominateur, et si a \lt a' , alors : \dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a'}{b}

Par conséquent, pour comparer 0,2, \dfrac{3}{4} et \dfrac{4}{5}, on va écrire ces trois nombres sous la forme d'une fraction de dénominateur 20.

On a :

• 0{,}2=\dfrac{2}{10}=\dfrac{2 \textcolor{Red}{\times 2}}{10\textcolor{Red}{\times2}}=\dfrac{4}{20}
• \dfrac{3}{4}=\dfrac{3\textcolor{Red}{\times 5}}{4\textcolor{Red}{\times 5}}=\dfrac{15}{20}
• \dfrac{4}{5}=\dfrac{4\textcolor{Red}{\times4}}{5\textcolor{Red}{\times4}}=\dfrac{16}{20}

Ainsi, comparer 0,2, \dfrac{3}{4} et \dfrac{4}{5} revient à comparer \dfrac{4}{20}, \dfrac{15}{20} et \dfrac{16}{20}.

On remarque que 4 \lt 15 \lt16 et on en déduit que \dfrac{4}{20} \lt \dfrac{15}{20}\lt\dfrac{16}{20}.

On en conclut que :
0{,}2\lt \dfrac{3}{4}\lt\dfrac{4}{5}

Par ailleurs :

• 3 \gt2 donc \dfrac{3}{2} \gt 1

• 1{,}6\gt1

On va donc comparer \dfrac{3}{2} et 1{,}6.

On sait que si \dfrac{a}{b} et \dfrac{a'}{b} sont deux fractions de même dénominateur, et si a \lt a' , alors : \dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a'}{b}

Par conséquent, pour comparer \dfrac{3}{2} et 1{,}6, on va écrire ces deux nombres sous la forme d'une fraction de dénominateur 10.

On a :

• \dfrac{3}{2}=\dfrac{3\textcolor{Red}{\times 5}}{2\textcolor{Red}{\times 5}}=\dfrac{15}{10}
• 1{,}6=\dfrac{16}{10}

Ainsi, comparer \dfrac{3}{2} et 1{,}6 revient à comparer \dfrac{15}{10} et \dfrac{16}{10}.

On remarque que 15\lt 16 et on en déduit que \dfrac{15}{10} \lt \dfrac{16}{10}.

On en conclut que :
\dfrac{3}{2} \lt 1{,}6

Et comme on a démontré précédemment que \dfrac{4}{5} \lt 1 et \dfrac{3}{2} \gt 1, on obtient finalement :

On sait que, une fraction \dfrac{a}{b} étant donnée :

• Si a \lt b alors \dfrac{a}{b} \lt 1
• Si a \gt b alors \dfrac{a}{b} \gt 1

Ici, on a :

• 8 \lt 9 donc \dfrac{8}{9}\lt 1

• 4 \lt 7 donc \dfrac{4}{7} \lt 1

On va donc comparer \dfrac{8}{9} et \dfrac{4}{7}.

On sait que si \dfrac{a}{b} et \dfrac{a'}{b} sont deux fractions de même dénominateur, et si a \lt a' , alors : \dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a'}{b}

Par conséquent, pour comparer \dfrac{8}{9} et \dfrac{4}{7}, on va écrire ces deux nombres sous la forme d'une fraction de dénominateur 63.

On a :

• \dfrac{8}{9}=\dfrac{8\textcolor{Red}{\times 7}}{9\textcolor{Red}{\times 7}}=\dfrac{56}{63}
• \dfrac{4}{7}=\dfrac{4\textcolor{Red}{\times9}}{7\textcolor{Red}{\times9}}=\dfrac{36}{63}

Ainsi, comparer \dfrac{8}{9} et \dfrac{4}{7}, revient à comparer \dfrac{56}{63} et \dfrac{36}{63}.

On remarque que 36 \lt56 et on en déduit que \dfrac{36}{63}\lt\dfrac{56}{63}.

On en conclut que :
\dfrac{4}{7}\lt\dfrac{8}{9}

Par ailleurs :

• 1+\dfrac{1}{3} \gt 1

• 6\gt5 donc \dfrac{6}{5} \gt 1

• 13\gt9 donc \dfrac{13}{9} \gt 1

On va donc comparer 1+\dfrac{1}{3}, \dfrac{6}{5} et \dfrac{13}{9}.

On sait que si \dfrac{a}{b} et \dfrac{a'}{b} sont deux fractions de même dénominateur, et si a \lt a' , alors : \dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a'}{b}

Par conséquent, pour comparer 1+\dfrac{1}{3}, \dfrac{6}{5} et \dfrac{13}{9}., on va écrire ces trois nombres sous la forme d'une fraction de dénominateur 45.

On a :

• 1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3+1}{3}=\dfrac{4}{3}=\dfrac{4\textcolor{Red}{\times 15}}{3\textcolor{Red}{\times 15}}=\dfrac{60}{45}
• \dfrac{6}{5} = \dfrac{6\textcolor{Red}{\times 9}}{5\textcolor{Red}{\times 9}}=\dfrac{54}{45}
• \dfrac{13}{9} = \dfrac{13\textcolor{Red}{\times 5}}{9\textcolor{Red}{\times 5}}=\dfrac{65}{45}

Ainsi, comparer 1+\dfrac{1}{3}, \dfrac{6}{5} et \dfrac{13}{9} revient à comparer \dfrac{60}{45}, \dfrac{54}{45} et \dfrac{65}{45}.

On remarque que 54\lt 60 \lt65 et on en déduit que \dfrac{54}{45} \lt \dfrac{60}{45} \lt\dfrac{65}{45}.

On en conclut que :
\dfrac{6}{5} \lt 1+\dfrac{1}{3} \lt\dfrac{13}{9}

Et comme on a démontré précédemment que \dfrac{8}{9} \lt 1 et \dfrac{6}{5} \gt 1, on obtient finalement :

On sait que, une fraction \dfrac{a}{b} étant donnée :

• Si a \lt b alors \dfrac{a}{b} \lt 1
• Si a \gt b alors \dfrac{a}{b} \gt 1

Ici, on a :

• 0{,}7\lt1
• 37 \lt 50 donc \dfrac{37}{50}\lt 1

• 73 \lt 100 donc \dfrac{73}{100} \lt 1

On va donc comparer 0,7, \dfrac{37}{50} et \dfrac{73}{100}.

On sait que si \dfrac{a}{b} et \dfrac{a'}{b} sont deux fractions de même dénominateur, et si a \lt a' , alors : \dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a'}{b}

Par conséquent, pour comparer 0,7, \dfrac{37}{50} et \dfrac{73}{100}, on va écrire ces trois nombres sous la forme d'une fraction de dénominateur 100.

On a :

• 0{,}7=\dfrac{7}{10}=\dfrac{7\textcolor{Red}{\times 10}}{10\textcolor{Red}{\times10}}=\dfrac{70}{\\100}
• \dfrac{37}{50}=\dfrac{37\textcolor{Red}{\times 2}}{50\textcolor{Red}{\times 2}}=\dfrac{74}{100}
• \dfrac{73}{100}

Ainsi, comparer 0,7, \dfrac{37}{50} et \dfrac{73}{100} revient à comparer \dfrac{70}{100}, \dfrac{74}{100} et \dfrac{73}{100}.

On remarque que 70 \lt 73 \lt74 et on en déduit que \dfrac{70}{100} \lt \dfrac{73}{100}\lt\dfrac{74}{100}.

On en conclut que :
0{,}7\lt \dfrac{73}{100}\lt\dfrac{37}{50}

Par ailleurs :

• 21 \gt20 donc \dfrac{21}{20} \gt 1

• 83\gt80 donc \dfrac{83}{80} \gt1

On va donc comparer \dfrac{21}{20} et \dfrac{83}{80}.

On sait que si \dfrac{a}{b} et \dfrac{a'}{b} sont deux fractions de même dénominateur, et si a \lt a' , alors : \dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a'}{b}

Par conséquent, pour comparer \dfrac{21}{20} et \dfrac{83}{80}, on va écrire ces deux nombres sous la forme d'une fraction de dénominateur 80.

On a :

• \dfrac{21}{20}=\dfrac{21\textcolor{Red}{\times 4}}{20\textcolor{Red}{\times 4}}=\dfrac{84}{80}
• \dfrac{83}{80}

Ainsi, comparer \dfrac{21}{20} et \dfrac{83}{80} revient à comparer \dfrac{84}{80} et \dfrac{83}{80}.

On remarque que 83\lt 84 et on en déduit que \dfrac{83}{80} \lt \dfrac{84}{80}.

On en conclut que :
\dfrac{83}{80} \lt \dfrac{21}{20}

Et comme on a démontré précédemment que \dfrac{37}{50} \lt 1 et \dfrac{83}{80} \gt 1, on obtient finalement :