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Dernière modification : 28/08/2025 - Conforme au programme 2025-2026
Définition d'une fraction
Fraction
Pour tout nombre entier a et tout nombre entier b non nul, la fraction \dfrac{a}{b} est le résultat exact de la division de a par b.
La fraction \dfrac{3}{4} est le quart de 3, c'est-à-dire 3 \div 4 qui est égal à 0,75.
- a est appelé le « numérateur de la fraction ».
- b est appelé le « dénominateur de la fraction ».
Si b = 1, on a :
\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{1}= a \div 1=a
\dfrac{7}{1}=7
Une fraction ne représente pas toujours un nombre décimal.
\dfrac{1}{3} n'est pas un nombre décimal.
Si a est un multiple de b, alors la fraction \dfrac{a}{b} est un nombre entier.
\dfrac{45}{5}=45 \div 5 = 9
a et b sont deux nombres entiers et b est différent de 0. La fraction \dfrac{a}{b} est le nombre qui, multiplié par b, donne a. Autrement dit :
b \times \dfrac{a}{b}=a
On a également :
\dfrac{a}{b} \times b=a
12 \times \dfrac{21}{12}=21
Représenter, comparer et encadrer des fractions
Placer des fractions sur une demi-droite graduée
Pour placer un nombre \dfrac{a}{b} sur une demi-droite graduée :
- on partage le segment unité en b parts ;
- on en prend a à partir de l'origine.
On souhaite placer la fraction \dfrac{5}{3} sur la demi-droite graduée suivante :
On découpe l'unité en 3 parts :
On prend 5 parts, afin de placer la fraction :
Pour lire l'abscisse d'un point sur une demi-droite graduée lorsque ce nombre est une fraction :
- on identifie en combien de parts le segment unité est partagé ; on obtient ainsi le dénominateur de la fraction ;
- on identifie le nombre de parts qui séparent l'origine et le point considéré ; on obtient ainsi le numérateur de la fraction.
On cherche à déterminer l'abscisse du point P ci-dessous :
On observe que l'unité est partagée en 6.
Entre l'origine et le point P, on observe qu'il y a 6 + 5 = 11 \text{ parts}.
Par conséquent, l'abscisse du point P est \dfrac{11}{6}.
Comparer des fractions
Les fractions égales
Le nombre représenté par une fraction ne change pas quand on multiplie le numérateur et le dénominateur de celle-ci par un même nombre non nul :
\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\textcolor{Red}{\times k}}{b\textcolor{Red}{\times k}}
\dfrac{4}{7}=\dfrac{4 \textcolor{Green}{\times 11}}{15\textcolor{Green}{\times 11}}=\dfrac{44}{77}
Le nombre représenté par une fraction ne change pas quand on divise le numérateur et le dénominateur de celle-ci par un même nombre non nul :
\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\textcolor{Red}{\div k}}{b\textcolor{Red}{\div k}}
\dfrac{20}{15}=\dfrac{20 \textcolor{Red}{\div 5}}{15\textcolor{Red}{\div 5}}=\dfrac{4}{3}
Comparer des fractions à 1
Soit \dfrac{a}{b} une fraction. Si a\lt b, alors :
\dfrac{a}{b}\lt1
On considère la fraction \dfrac{3}{4}.
On a :
3\lt4
Donc :
\dfrac{3}{4}\lt1
Soit \dfrac{a}{b} une fraction. Si a \gt b , alors :
\dfrac{a}{b}\gt 1
On considère la fraction \dfrac{9}{5}.
On a :
9\gt5
Donc :
\dfrac{9}{5}\gt1
Soit \dfrac{a}{b} une fraction. Si a=b, alors :
\dfrac{a}{b}=1
On considère la fraction \dfrac{9}{9}.
On a :
9=9
Donc :
\dfrac{9}{9}=1
Comparer des fractions entre elles
Si \dfrac{a}{b} et \dfrac{a'}{b} sont deux fractions de même dénominateur, et si a \lt a', alors :
\dfrac{a}{b}\lt\dfrac{a'}{b}
On cherche à comparer \dfrac{7}{5} et \dfrac{3}{5}.
Ces deux fractions ont le même dénominateur.
On compare leurs numérateurs :
3\lt7
Ainsi, on obtient :
\dfrac{3}{5}\lt \dfrac{7}{5}
Si \dfrac{a}{b} et \dfrac{a}{b'} sont deux fractions de même numérateur, et si b \lt b', alors :
\dfrac{a}{b}\gt \dfrac{a}{b'}
On cherche à comparer \dfrac{11}{5} et \dfrac{11}{9}.
Ces deux fractions ont le même numérateur.
On compare leurs dénominateurs :
5\lt9
Ainsi, on obtient :
\dfrac{11}{5}\gt \dfrac{11}{9}
Encadrer une fraction
Encadrer une fraction \dfrac{a}{b} par deux entiers consécutifs, c'est trouver deux entiers n et m tels que :
- n\leq \dfrac{a}{b}\leq m
- n+1=m
On cherche à encadrer la fraction \dfrac{7}{6} par deux entiers consécutifs.
On écrit la fraction \dfrac{7}{6} sous la forme d'un nombre mixte :
\dfrac{7}{6} =\dfrac{6+1}{6}=\dfrac{6}{6}+\dfrac{1}{6}=1+\dfrac{1}{6}
On remarque que \dfrac{1}{6} est compris entre 0 et 1.
On en déduit que 1+\dfrac{1}{6} est compris entre 1 et 2.
On en conclut que :
1 \lt\dfrac{7}{6} \lt2
Pour encadrer une fraction par deux entiers consécutifs, on peut placer la fraction sur une demi-droite graduée sur laquelle les entiers sont repérés.
On cherche à encadrer \dfrac{5}{3} par deux entiers consécutifs.
On place la fraction \dfrac{5}{3} sur une demi-droite graduée sur laquelle on a repéré les premiers entiers.
On lit sur la demi-droite :
1 \lt \dfrac{5}{3} \lt 2
Effectuer des opérations sur les fractions
La fraction comme opérateur multiplicatif
Pour a et b deux nombres entiers et c un nombre entier non nul, on a :
\dfrac{b}{c} \times a = \dfrac{b \times a}{c}=\dfrac{a}{c} \times b
Pour calculer \dfrac{2}{5} \times 60, il existe trois manières de faire :
- \dfrac{2}{5} \times 60 = (2 \div 5) \times 60 = 0{,}4 \times 60 = 24
- \dfrac{2}{5} \times 60=\dfrac{2 \times 60}{5}=\dfrac{120}{5}=120 \div 5 = 24
- \dfrac{2}{5} \times 60=\dfrac{60}{5} \times 2=(60 \div 5) \times 2 = 12 \times 2 = 24
Pour calculer une fraction d'un nombre entier, on multiplie la fraction par le nombre.
Pour calculer les \dfrac{2}{5} de 60, on effectue la multiplication \dfrac{2}{5} \times 60.
Ainsi, les \dfrac{2}{5} de 60 valent :
\dfrac{2}{5} \times 60=\dfrac{2\times 60}{5} =\dfrac{120}{5} =24
Additionner et soustraire des fractions de même dénominateur
Si a et b sont deux nombres entiers et c un nombre entier non nul, alors on a :
\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}
\dfrac{8}{5}+\dfrac{11}{5}=\dfrac{8+11}{5}=\dfrac{19}{5}
Si a et b sont deux nombres entiers et c un nombre entier non nul, alors on a :
\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c}
\dfrac{9}{13}-\dfrac{2}{13}=\dfrac{9-2}{13}=\dfrac{7}{13}
Additionner et soustraire des fractions de dénominateurs différents
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions dont l'une a un dénominateur multiple du dénominateur de l'autre fraction :
- on écrit la fraction ayant le plus petit dénominateur de sorte à ce que les deux fractions aient le même dénominateur ;
- on applique l'une des deux propriétés précédentes pour terminer le calcul.
On souhaite additionner les deux fractions \dfrac{13}{3} et \dfrac{7}{12} .
On remarque que le dénominateur de la deuxième fraction est un multiple du dénominateur de la première fraction. En effet :
12 = 3 \times 4
On écrit :
\dfrac{13}{3}=\dfrac{13\textcolor{Red}{\times 4}}{3\textcolor{Red}{\times 4}}=\dfrac{52}{12}
On peut maintenant effectuer le calcul :
\dfrac{13}{3}+\dfrac{7}{12}=\dfrac{52}{12}+\dfrac{7}{12}=\dfrac{52+7}{12}=\dfrac{59}{12}
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de dénominateurs différents mais dont aucune des deux dénominateurs n'est multiple de l'autre fraction :
- on trouve un multiple commun aux deux dénominateurs ;
- on écrit les deux fractions avec comme dénominateur le nombre obtenu précédemment ;
- on applique l'une des deux premières propriétés précédentes pour terminer le calcul.
On souhaite soustraire les deux fractions \dfrac{7}{2} et \dfrac{3}{5} .
On identifie un multiple commun à 2 et 5 : par exemple 10.
En effet :
10 = 5 \times 2
On écrit :
\dfrac{7}{2}=\dfrac{7\textcolor{Red}{\times 5}}{2\textcolor{Red}{\times5 }}=\dfrac{35}{10}
Et :
\dfrac{3}{5}=\dfrac{3\textcolor{Red}{\times 2}}{5\textcolor{Red}{\times2 }}=\dfrac{6}{10}
On peut maintenant effectuer le calcul :
\dfrac{7}{2}-\dfrac{3}{5}=\dfrac{35}{10}-\dfrac{6}{10}=\dfrac{35-6}{10}=\dfrac{29}{10}
Les pourcentages
Pourcentage
Si a est un nombre entier, a \% désigne la fraction décimale \dfrac{a}{100} et se lit « a pour cent ».
38 % est égal à \dfrac{38}{100} et se lit « 38 pour cent ».
Le pourcentage peut servir à représenter une proportion.
Si un aliment contient 42 % de glucides, cela signifie que la proportion de glucides dans cet aliment est de \dfrac{42}{100}.
Cela signifie encore que « pour 100 g » de cet aliment, il y a 42 g de glucides.
Dans un sac contenant 2 boules blanches et 8 boules noires, la proportion de boules blanches dans ce sac peut s'exprimer en pourcentage.
Dans ce sac, il y a au total 2 + 8 = 10 \text{ boules}, dont 2 boules blanches.
La proportion de boules blanches dans ce sac est égale à :
\dfrac{2}{10}=\dfrac{2\textcolor{Red}{\times 10}}{10\textcolor{Red}{\times 10}}=\dfrac{20}{100}=20 \text{ \%}
Pour déterminer a \% d'un nombre entier k, on calcule :
k\times \dfrac{a}{100}
Appliquer 23 % à 80 revient à calculer \dfrac{23}{100} de 80, c'est-à-dire à calculer :
\dfrac{23}{100} \times 80 = (23 \div 100) \times 80 = 0{,}23 \times 80 =18{,}4
Pour calculer un pourcentage simple d'une grandeur, on peut visualiser sur une échelle de pourcentage.
Pour calculer 20 % de 60 €, on peut illustrer la proportion avec un total de 100 % et en dessous avec un total de 60 €.
