DFE est un triangle et O le centre de son cercle circonscrit. I est le milieu du segment \left[FE\right], K celui de \left[ED\right] et J celui de \left[DF\right].
Soit H le point défini par : \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OE}.
Quelle égalité relie les points D, H, O et I ?
D'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OH}.
Or :
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OE}
Donc :
\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OE}.
Et toujours d'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IF}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IE}=2\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IF}+\overrightarrow{IE}
De plus I est le milieu de \left[FE\right], on a alors :
\overrightarrow{IF}+\overrightarrow{IE}=\overrightarrow{0}
Et on obtient :
\overrightarrow{DH}=2\overrightarrow{OI}
\overrightarrow{DH}=2\overrightarrow{OI}
Que représente le point H pour le triangle DFE ?
On montre que les droites \left(FE\right) et \left(DH\right) sont perpendiculaires
Comme \overrightarrow{DH}=2\overrightarrow{OI}, les vecteurs \overrightarrow{DH} et \overrightarrow{OI} sont colinéaires et les droites \left(DH\right) et \left(OI\right) sont parallèles.
De plus \left(OI\right) est la médiatrice de \left[FE\right], donc \left(OI\right) est perpendiculaire à \left(FE\right).
Par conséquent, \left(FE\right) et \left(DH\right) sont perpendiculaires.
\left(DH\right) est donc la hauteur issue de D du triangle DFE.
On montre que les droites \left(FH\right) et \left(DE\right) sont perpendiculaires
En reprenant la question 1, on peut montrer que \overrightarrow{FH}=2\overrightarrow{OK}, et donc que les vecteurs \overrightarrow{FH} et \overrightarrow{OK} sont colinéaires et les droites \left(FH\right) et \left(OK\right) sont parallèles.
De plus \left(OK\right) est la médiatrice de \left[DE\right], donc \left(OK\right) est perpendiculaire à \left(DE\right).
Par conséquent, \left(DE\right) et \left(FH\right) sont perpendiculaires.
\left(FH\right) est donc la hauteur issue de F du triangle DFE.
H est alors le point d'intersection de \left(FH\right) et \left(DH\right) qui sont deux hauteurs du triangle DFE.
Donc H est l'orthocentre du triangle DFE.
Soit G le centre de gravité du triangle DFE.
Quelle égalité relie les points G, O et H ?
D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DH}
Or :
\overrightarrow{DH}=2\overrightarrow{OI}
Donc :
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OD}+2\overrightarrow{OI}
Et toujours d'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GD}+2\overrightarrow{OG}+2\overrightarrow{GI}=3\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GD}+2\overrightarrow{GI}
De plus, G est le centre de gravité du triangle DFE, on a alors :
\overrightarrow{GD}+2\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{0}
On obtient :
\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}
\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}
Que peut-on en déduire des points O, G et H ?
\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}
Les vecteurs \overrightarrow{OH} et \overrightarrow{OG} sont donc colinéaires, et les points O, G et H sont alignés.
Les points O, G et H sont donc alignés.