PQR est un triangle et O le centre de son cercle circonscrit. G est le milieu du segment \left[QR\right], F celui de \left[RP\right] et L celui de \left[PQ\right].
Soit H le point défini par : \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}.
Quelle égalité relie les points O, G, P et H ?
D'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{PH}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OH}.
Or :
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}
Donc :
\overrightarrow{PH}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}.
Et toujours d'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{PH}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GL}=2\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{GL}
De plus G est le milieu de \left[QR\right], on a alors :
\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{GR}=\overrightarrow{0}
Et on obtient :
\overrightarrow{PH}=2\overrightarrow{OG}
\overrightarrow{PH}=2\overrightarrow{OG}
Que représente le point H pour le triangle PQR ?
On montre que les droites \left(QR\right) et \left(PH\right) sont perpendiculaires
Comme \overrightarrow{PH}=2\overrightarrow{OG}, les vecteurs \overrightarrow{PH} et \overrightarrow{OG} sont colinéaires et les droites \left(PH\right) et \left(OG\right) sont parallèles.
De plus \left(OG\right) est la médiatrice de \left[QR\right], donc \left(OG\right) est perpendiculaire à \left(QR\right).
Par conséquent, \left(QR\right) et \left(PH\right) sont perpendiculaires.
\left(PH\right) est donc la hauteur issue de P du triangle PQR.
On montre que les droites \left(QH\right) et \left(PR\right) sont perpendiculaires
En reprenant la question 1, on peut montrer que \overrightarrow{QH}=2\overrightarrow{OF}, et donc que les vecteurs \overrightarrow{QH} et \overrightarrow{OF} sont colinéaires et les droites \left(QH\right) et \left(OF\right) sont parallèles.
De plus \left(OF\right) est la médiatrice de \left[PR\right], donc \left(OF\right) est perpendiculaire à \left(PR\right).
Par conséquent, \left(PR\right) et \left(QH\right) sont perpendiculaires.
\left(QH\right) est donc la hauteur issue de Q du triangle PQR.
H est alors le point d'intersection de \left(QH\right) et \left(PH\right) qui sont deux hauteurs du triangle PQR.
Donc H est l'orthocentre du triangle PQR.
Soit G' le centre de gravité du triangle PQR.
Quelle relation relie les points G', O et H ?
D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PH}
Or :
\overrightarrow{PH}=2\overrightarrow{OG}
Donc :
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OP}+2\overrightarrow{OG}
Et toujours d'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OG'}+\overrightarrow{GPA}+2\overrightarrow{OG'}+2\overrightarrow{G'G}=3\overrightarrow{OG'}+\overrightarrow{G'P}+2\overrightarrow{G'G}
De plus, G' est le centre de gravité du triangle PQR, on a alors :
\overrightarrow{G'P}+2\overrightarrow{G'G}=\overrightarrow{0}
On obtient :
\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG'}
\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG'}
Que peut-on en déduire des points O, G' et H ?
\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG'}
Les vecteurs \overrightarrow{OH} et \overrightarrow{OG'} sont donc colinéaires, et les points O, G' et H sont alignés.
Les points O, G' et H sont donc alignés.