Le physicien suisse Balmer (1825 - 1898), a montré que les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène suivent une loi simple, donnée par :
E_{n} = \dfrac{E_{0} }{n^{2}} pour n\gt0 (le niveau fondamental étant donc noté E_{1} ), avec E_{0} = -13{,}6 eV.
On souhaite étudier le comportement de l'atome d'hydrogène selon cette loi.
Données :
- c = 3{,}00 \times 10^{8} m.s-1
- h = 6{,}62 \times 10^{-34} J.s
- 1 eV = 1{,}60 \times 10^{-19} J
Quelles sont les valeurs des niveaux d'énergie 5 à 12 en électrons-volts ?
Pour déterminer les valeurs des niveaux d'énergie, on applique la formule de l'énoncé en changeant à chaque fois la valeur de n.
E_{n} = \dfrac{E_{0} }{n^{2}} donc on en déduit :
- E_{5} = \dfrac{-13{,}6 }{5^{2}} = -0{,}54 eV
- E_{6} = \dfrac{-13{,}6 }{6^{2}} = -0{,}38 eV
- E_{7} = \dfrac{-13{,}6 }{7^{2}} = -0{,}28 eV
- E_{8} = \dfrac{-13{,}6 }{8^{2}} = -0{,}21 eV
- E_{9} = \dfrac{-13{,}6 }{9^{2}} = -0{,}17 eV
- E_{10} = \dfrac{-13{,}6 }{10^{2}} = -0{,}14 eV
- E_{11} = \dfrac{-13{,}6 }{11^{2}} = -0{,}11 eV
- E_{12} = \dfrac{-13{,}6 }{12^{2}} = -0{,}094 eV
Les valeurs des niveaux d'énergie sont :
- E_{5} = -0{,}54 eV
- E_{6} = -0{,}38 eV
- E_{7} = -0{,}28 eV
- E_{8} = -0{,}21 eV
- E_{9} = -0{,}17 eV
- E_{10} = -0{,}14 eV
- E_{11} = -0{,}11 eV
- E_{12} = -0{,}094 eV
Suite aux travaux de Balmer sur le spectre d'émission de raies de l'atome d'hydrogène, d'autres séries que la série de Balmer (correspondant à une transition électronique d'un état quantique de nombre principal n\gt2 vers l'état de niveau 2) ont été définies, telle la série de Humphreys.
Cette dernière (correspondant à une transition électronique d'un état quantique de nombre principal n\gt6 vers l'état de niveau 6) comporte des raies invisibles (car dans l'IR) dont les longueurs d'onde sont :
- 4673 nm
- 5129 nm
- 5905 nm
- 7503 nm
- 12 368 nm
Quelle est, pour chaque longueur d'onde, l'énergie du photon associée, en électrons-volts ?
Un photon de fréquence v possède une énergie donnée par la formule suivante :
E = h \times \nu
En fonction de la longueur d'onde, cela donne :
E = h \times \dfrac{c}{\lambda}
Avec :
- h, la constante de Planck qui vaut 6{,}62\times 10^{-34} J.s
- \lambda, la longueur d'onde du photon étudié (m)
- c, la vitesse de la lumière qui vaut 3{,}00\times 10^{8} m.s-1
- E, l'énergie du photon (J)
Application numérique
En faisant l'application numérique, pour les quatre longueurs d'onde, (on convertit les longueurs d'onde en m) on trouve :
- E_{\lambda_{1}} = 6{,}62\times 10^{-34} \times \dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{4\ 673\times 10^{-9}} = 4{,}25\times 10^{-20} J
- E_{\lambda_{2}} = 6{,}62\times 10^{-34} \times \dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{5\ 129\times 10^{-9}} = 3{,}87\times 10^{-20} J
- E_{\lambda_{3}} = 6{,}62\times 10^{-34} \times \dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{5\ 905\times 10^{-9}} = 3{,}36\times 10^{-20} J
- E_{\lambda_{4}} = 6{,}62\times 10^{-34} \times \dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{7\ 503\times 10^{-9}} = 2{,}65\times 10^{-20} J
- E_{\lambda_{5}} = 6{,}62\times 10^{-34} \times \dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{12\ 368\times 10^{-9}} = 1{,}61\times 10^{-20} J
Conversion en eV
Comme le résultat est demandé en électrons-volts, on convertit (1 eV = 1{,}60 \times 10^{-19} J) :
- E_{\lambda_{1}} = \dfrac{4{,}25\times 10^{-20}}{1{,}60\times 10^{-19}} = 2{,}66\times 10^{-1} eV
- E_{\lambda_{2}} = \dfrac{3{,}87\times 10^{-20}}{1{,}60\times 10^{-19}} = 2{,}42\times 10^{-1} eV
- E_{\lambda_{3}} = \dfrac{3{,}36\times 10^{-20}}{1{,}60\times 10^{-19}} = 2{,}10\times 10^{-1} eV
- E_{\lambda_{4}} = \dfrac{2{,}65\times 10^{-20}}{1{,}60\times 10^{-19}} = 1{,}66\times 10^{-1} eV
- E_{\lambda_{5}} = \dfrac{1{,}61\times 10^{-20}}{1{,}60\times 10^{-19}} = 1{,}01\times 10^{-1} eV
L'énergie du photon associée à chaque longueur d'onde est :
- E_{\lambda_{1}} = 2{,}66\times 10^{-1} eV
- E_{\lambda_{2}} = 2{,}42\times 10^{-1} eV
- E_{\lambda_{3}}= 2{,}10\times 10^{-1} eV
- E_{\lambda_{4}} = 1{,}66\times 10^{-1} eV
- E_{\lambda_{5}} = 1{,}01\times 10^{-1} eV
Ces cinq raies de Humphreys sont le fruit de l'émission d'un photon suite à une transition électronique entre un niveau d'énergie donné vers le niveau d'énergie 6.
Quelle est l'énergie des photons émise lors d'une transition depuis le niveau n vers le niveau 6, pour 6\lt n\lt12 ?
On détermine l'énergie E_{n\ce{->}6} des photons émise lors d'une transition depuis le niveau n vers le niveau 6 en soustrayant à l'énergie du niveau initial n celle du niveau atteint 6.
On a donc :
E_{n\ce{->}6} = E_{n} - E_{6}
En faisant l'application pour les différentes transitions électroniques, on obtient :
- E_{7\ce{->}6} = E_{7} - E_{6} = -0{,}28 + 0{,}38 = 0{,}10 eV
- E_{8\ce{->}6} = E_{8} - E_{6} = -0{,}21 + 0{,}38, = 0{,}17 eV
- E_{9\ce{->}6} = E_{9} - E_{6} = -0{,}17 + 0{,}38 = 0{,}21 eV
- E_{10\ce{->}6} = E_{10} - E_{6} = -0{,}14 + 0{,}38 = 0{,}24 eV
- E_{11\ce{->}6} = E_{11} - E_{6} = -0{,}11 + 0{,}38 = 0{,}27 eV
L'énergie des photons émise au cours des différentes transitions est :
- E_{7\ce{->}6} = 0{,}10 eV
- E_{8\ce{->}6} = 0{,}17 eV
- E_{9\ce{->}6} = 0{,}21 eV
- E_{10\ce{->}6} = 0{,}24 eV
- E_{11\ce{->}6} = 0{,}27 eV
En s'appuyant sur les résultats des questions précédentes, dans quel état d'énergie se trouvait l'atome d'hydrogène avant l'émission de chaque raie ?
Remarque : les arrondis lors des calculs précédents peuvent donner des valeurs quasi égales et non exactes.
On compare les résultats des questions 2 et 3 :
La raie de longueur d'onde 4673 nm correspond à un photon d'énergie 0,266 eV. Or cette valeur correspond approximativement à E_{11\ce{->}6} = 0{,}27 eV.
Cette raie est donc émise lors d'une transition du niveau 11 au niveau 6.
La raie de longueur d'onde 5129 nm correspond à un photon d'énergie 0,242 eV. Or cette valeur correspond approximativement à E_{10\ce{->}6} = 0{,}24 eV.
Cette raie est donc émise lors d'une transition du niveau 10 au niveau 6.
La raie de longueur d'onde 5905 nm correspond à un photon d'énergie 0,210 eV. Or cette valeur correspond à E_{9\ce{->}6} = 0{,}21 eV.
Cette raie est donc émise lors d'une transition du niveau 9 au niveau 6.
La raie de longueur d'onde 7503 nm correspond à un photon d'énergie 0,166 eV. Or cette valeur correspond, aux arrondis près, à E_{8\ce{->}6} = 0{,}17 eV.
Cette raie est donc émise lors d'une transition du niveau 8 au niveau 6.
La raie de longueur d'onde 12 368 nm correspond à un photon d'énergie 0,101 eV. Or cette valeur correspond, aux arrondis près, à E_{7\ce{->}6} = 0{,}10 eV.
Cette raie est donc émise lors d'une transition du niveau 7 au niveau 6.
On en déduit que :
- Avant l'émission de la raie \lambda_{1}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{11}.
- Avant l'émission de la raie \lambda_{2}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{10}.
- Avant l'émission de la raie \lambda_{3}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{9}.
- Avant l'émission de la raie \lambda_{4}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{8}.
- Avant l'émission de la raie \lambda_{5}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{7}.