Etudier les transitions énergétiques grâce à un spectre d'émission Problème

Le physicien suisse Balmer (1825 - 1898), a montré que les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène suivent une loi simple, donnée par :

E_{n} = \dfrac{E_{0} }{n^{2}} pour n\gt0 (le niveau fondamental étant donc noté E_{1} ), avec E_{0} = -13{,}6 eV.

On souhaite étudier le comportement de l'atome d'hydrogène selon cette loi.

Données :

c = 3{,}00 \times 10^{8} m.s^-1
h = 6{,}62 \times 10^{-34} J.s
1eV = 1{,}60 \times 10^{-19} J

Quelles sont les valeurs des niveaux d'énergie 1 à 10 en électrons-volts ?

E_{1} = -13{,}6 J
E_{2} = -3{,}40 J
E_{3} = -1{,}51 J
E_{4} = -0{,}85 J
E_{5} = -0{,}54 J
E_{6} = -0{,}38 J
E_{7} = -0{,}28 J

E_{10} = -13{,}6 eV
E_{9} = -3{,}40 eV
E_{8} = -1{,}51 eV
E_{7} = -0{,}85 eV
E_{6} = -0{,}54 eV
E_{5} = -0{,}38 eV
E_{4} = -0{,}28 eV
E_{3} = -0{,}21 eV
E_{2} = -0{,}17 eV
E_{1} = -0{,}14 eV

E_{1} = -13{,}6 eV
E_{2} = -3{,}40 eV
E_{3} = -1{,}51 eV
E_{4} = -0{,}85 eV
E_{5} = -0{,}54 eV
E_{6} = -0{,}38 eV
E_{7} = -0{,}28 eV
E_{8} = -0{,}21 eV
E_{9} = -0{,}17 eV
E_{10} = -0{,}14 eV

E_{1} = -2{,}18\times 10^{-18} J
E_{2} = -5{,}44\times 10^{-19} J
E_{3} = -2{,}42\times 10^{-19} J
E_{4} = -1{,}36\times 10^{-19} J
E_{5} = -8{,}64\times 10^{-20} J
E_{6} = -6{,}08\times 10^{-20} J
E_{7} = -4{,}48\times 10^{-20} J
E_{8} = -3{,}36\times 10^{-20} J
E_{9} = -2{,}72\times 10^{-20} J
E_{10} = -2{,}24\times 10^{-20} J

Suite aux travaux de Balmer sur le spectre d'émission de raies de l'atome d'hydrogène, d'autres séries que la série de Balmer (correspondant à une transition électronique d'un état quantique de nombre principal n\gt2 vers l'état de niveau 2) ont été définies telles la série de Brackett.

Cette dernière (correspondant à une transition électronique d'un état quantique de nombre principal n\gt4 vers l'état de niveau 4) comporte 5 raies invisibles (car dans l'IR) dont les longueurs d'onde sont :

1818 nm
1945 nm
2166 nm
2626 nm
4053 nm

Quelle est, pour chaque longueur d'onde, l'énergie du photon associée, en électrons-volts ?

E_{\lambda_{1}} = 3{,}04 eV
E_{\lambda_{2}} = 2{,}87 eV
E_{\lambda_{3}}= 2{,}56 eV
E_{\lambda_{4}} = 1{,}89 eV
E_{\lambda_{5}} = 1{,}18 eV

E_{\lambda_{1}} = 0{,}683 eV
E_{\lambda_{2}} = 0{,}638 eV
E_{\lambda_{3}}= 0{,}573 eV
E_{\lambda_{4}} = 0{,}473 eV
E_{\lambda_{5}} = 0{,}306 eV

E_{\lambda_{1}} = 6{,}83 eV
E_{\lambda_{2}} = 6{,}38 eV
E_{\lambda_{3}}= 5{,}73 eV
E_{\lambda_{4}} = 4{,}73 eV
E_{\lambda_{5}} = 3{,}06 eV

E_{\lambda_{5}} = 0{,}683 eV
E_{\lambda_{4}} = 0{,}638 eV
E_{\lambda_{3}}= 0{,}573 eV
E_{\lambda_{2}} = 0{,}473 eV
E_{\lambda_{1}} = 0{,}306 eV

Ces cinq raies de Brackett sont le fruit de l'émission d'un photon suite à une transition électronique entre un niveau d'énergie donné vers le niveau d'énergie 4.

Quelle est l'énergie des photons émise lors d'une transition depuis le niveau n vers le niveau 4, pour 4\lt n\lt10 ?

E_{3\ce{->}4} = 1{,}89 eV
E_{4\ce{->}4} = 2{,}55 eV
E_{5\ce{->}4} = 2{,}86 eV
E_{6\ce{->}4} = 3{,}02 eV
E_{7\ce{->}4} = 3{,}12 eV

E_{5\ce{->}4} = 0{,}16 eV
E_{6\ce{->}4} = 0{,}26 eV
E_{7\ce{->}4} = 0{,}33 eV
E_{8\ce{->}4} = 0{,}37 eV
E_{9\ce{->}4} = 0{,}40 eV

E_{5\ce{->}4} = 0{,}31 eV
E_{6\ce{->}4} = 0{,}47 eV
E_{7\ce{->}4} = 0{,}57 eV
E_{8\ce{->}4} = 0{,}64 eV
E_{9\ce{->}4} = 0{,}68 eV

E_{5\ce{->}4} = 0{,}29 eV
E_{6\ce{->}4} = 0{,}45 eV
E_{7\ce{->}4} = 0{,}54 eV
E_{8\ce{->}4} = 0{,}61 eV
E_{9\ce{->}4} = 0{,}64 eV

En s'appuyant sur les résultats des questions précédentes, dans quel état d'énergie se trouvait l'atome d'hydrogène avant l'émission de chaque raie ?

Remarque : les arrondis lors des calculs précédents peuvent donner des valeurs quasi égales et non exactes.

Avant l'émission de la raie \lambda_{1}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{5}.
Avant l'émission de la raie \lambda_{2}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{6}.
Avant l'émission de la raie \lambda_{3}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{7}.
Avant l'émission de la raie \lambda_{4}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{8}.
Avant l'émission de la raie \lambda_{5}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{9}.

Avant l'émission de la raie \lambda_{1}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{9}.
Avant l'émission de la raie \lambda_{2}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{8}.
Avant l'émission de la raie \lambda_{3}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{7}.
Avant l'émission de la raie \lambda_{4}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{6}.
Avant l'émission de la raie \lambda_{5}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{5}.

Avant l'émission de la raie \lambda_{5}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{9}.
Avant l'émission de la raie \lambda_{4}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{8}.
Avant l'émission de la raie \lambda_{3}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{7}.
Avant l'émission de la raie \lambda_{2}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{6}.
Avant l'émission de la raie \lambda_{1}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{5}.

Après l'émission de la raie \lambda_{1}, l'atome d'hydrogène se trouve dans l'état d'énergie initial E_{9}.
Après l'émission de la raie \lambda_{2}, l'atome d'hydrogène se trouve dans l'état d'énergie initial E_{8}.
Après l'émission de la raie \lambda_{3}, l'atome d'hydrogène se trouve dans l'état d'énergie initial E_{7}.
Après l'émission de la raie \lambda_{4}, l'atome d'hydrogène se trouve dans l'état d'énergie initial E_{6}.
Après l'émission de la raie \lambda_{5}, l'atome d'hydrogène se trouve dans l'état d'énergie initial E_{5}.