Les unités d'aire
Les unités de référence pour mesurer une aire sont le mètre carré, ses multiples et ses sous-multiples.
Unités d'aire
Les unités d'aire de référence sont le mètre carré (m2), ainsi que ses multiples et ses sous-multiples :
- Le kilomètre carré (km2) est égal à 1 000 000 mètres carrés.
- L'hectomètre carré (hm2) est égal à 10 000 mètres carrés.
- Le décamètre carré (dam2) est égal à 100 mètres carrés.
- Le décimètre carré (dm2) est égal à 0,01 mètre carré.
- Le centimètre carré (cm2) est égal à 0,0001 mètre carré.
- Le millimètre carré (mm2) est égal à 0,000001 mètre carré.
3 \text{ dam}^2 = 300 \text{ m}^2
Les unités suivantes sont souvent utilisées pour mesurer la surface des terrains :
- L'are (a) est égal à 100 mètres carrés.
- L'hectare (ha) est égal à 1 hm2, soit 10 000 mètres carrés.
Les conversions entre les différents multiples et sous-multiples du mètre carré se font à l'aide du tableau de conversion suivant :
| km2 | hm2 | dam2 | m2 | dm2 | cm2 | mm2 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
-
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 0, 0 0 1 5 6 2 1\ 562 \text{ dm}^2 = 0{,}001562 \text{ hm}^2
-
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 121 \text{ m}^2 = 121\ 000\ 000 \text{ mm}^2
Contrairement au tableau de conversion des multiples du mètre, ce tableau comporte deux colonnes par unité.
Les aires des figures usuelles
L'aire d'une figure est la mesure de sa surface, dans une unité d'aire donnée. Il existe des formules pour calculer les aires des figures usuelles telles que le rectangle, le triangle, le disque et le parallélogramme.
L'aire d'un rectangle
L'aire d'un rectangle dépend de sa longueur et sa largeur.
L'aire \mathcal{A} d'un rectangle de longueur L et de largeur \ell est donnée par la formule :
\mathcal{A}=L\times \ell
Un rectangle ABCD a pour longueur 8 cm et pour largeur 3 cm.
Son aire est donc :
\mathcal{A}=8\times 3
\mathcal{A}=24 \text{ cm}^2
Attention à bien exprimer la longueur et la largeur dans la même unité avant d'effectuer le calcul de l'aire du rectangle.
Un rectangle ABCD a pour longueur 8 dm et pour largeur 30 cm.
On sait que 30 \text{ cm} = 3 \text{ dm}.
On calcule son aire en dm2 :
\mathcal{A}=8\times 3
\mathcal{A}=24 \text{ dm}^2
L'aire d'un triangle
L'aire d'un triangle dépend de la longueur d'un des ses côtés, appelé « base », et de la hauteur relative à ce côté.
On considère un triangle dont un des côtés (appelé « base ») a pour longueur b et la hauteur associée a pour longueur h.
L'aire \mathcal{A} de ce triangle est donnée par la formule :
\mathcal{A}=\dfrac{b\times h}{2}
On considère un triangle ABC tel que :
- AB=8 \text{ cm} ;
- H est le pied de la hauteur issue de C ;
- CH=4 \text{ cm}.
Alors l'aire \mathcal{A} du triangle ABC est égale à :
\mathcal{A}=\dfrac{8\times 4}{2}
\mathcal{A}=\dfrac{32}{2}
\mathcal{A}=16 \text{ cm}^2
Attention à bien exprimer la base et la hauteur relative dans la même unité avant d'effectuer le calcul de l'aire du triangle.
On considère un triangle ABC tel que :
- AB=8 \text{ dm} ;
- H est le pied de la hauteur issue de C ;
- CH=40 \text{ cm}.
On sait que 40 \text{ cm} = 4 \text{ dm}.
Alors l'aire \mathcal{A} du triangle ABC est égale à :
\mathcal{A}=\dfrac{8\times 4}{2}
\mathcal{A}=\dfrac{32}{2}
\mathcal{A}=16 \text{ dm}^2
L'aire d'un disque
L'aire d'un disque dépend de son rayon.
L'aire \mathcal{A} d'un disque de rayon r est donnée par la formule :
\mathcal{A}=\pi\times r\times r
ou
\mathcal{A}=\pi\times r^2
On considère un disque de rayon r=5 cm.
Son aire \mathcal{A} est alors égale à :
\mathcal{A}=\pi\times 5\times 5
\mathcal{A}=\pi\times 25
\mathcal{A}=25\pi \text{ cm}^2
Une valeur approchée de l'aire est :
\mathcal{A}\approx 78{,}5 \text{ cm}^2
L'aire d'un parallélogramme
Tout comme l'aire d'un triangle, l'aire d'un parallélogramme dépend de la longueur d'un de ses côtés, appelé « base », et de la hauteur relative à ce côté.
On considère un parallélogramme dont un des côtés (appelé « base ») a pour longueur b et la hauteur associée a pour longueur h.
L'aire \mathcal{A} de ce parallélogramme est alors donnée par la formule :
\mathcal{A}=b\times h
On considère un parallélogramme ABCD tel que :
- AB=8 \text{ cm} ;
- la hauteur entre les côtés [AB] et [CD] mesure 3 cm.
L'aire \mathcal{A} du parallélogramme est égale à :
\mathcal{A}=8\times 3
\mathcal{A}=24 \text{ cm}^2
On considère un parallélogramme quelconque.
On peut toujours effectuer les manipulations suivantes :
L'aire du parallélogramme de départ est la même que l'aire du rectangle obtenu.
L'aire du rectangle est égale à L\times \ell où L est sa longueur et \ell sa largeur.
On remarque que :
- La longueur du rectangle correspond à la longueur d'un côté de parallélogramme (on notera b cette dimension).
- La largeur du rectangle correspond à la hauteur du parallélogramme relative au côté précédemment choisi (on notera h cette dimension).
On obtient bien que l'aire \mathcal{A} du parallélogramme est égale à :
\mathcal{A}=b\times h
Attention à bien exprimer la base et la hauteur relative dans la même unité avant d'effectuer le calcul de l'aire du parallélogramme.
On considère un parallélogramme ABCD tel que :
- AB=8 \text{ m} ;
- la hauteur entre les côtés [AB] et [CD] mesure 30 cm.
On sait que 8 \text{ m} = 800 \text{ cm}.
L'aire \mathcal{A} du parallélogramme est égale à :
\mathcal{A}=800\times 30
\mathcal{A}=24\, 000 \text{ cm}^2
Les unités de volume et de contenance
Les unités de volume permettent de mesurer l'espace qu'occupe un objet. Les unités de contenance permettent de mesurer la quantité que peut contenir un objet. Ces deux unités sont liées : on peut effectuer une conversion de l'une à l'autre.
Les unités de volume
Les unités de volume de référence sont le mètre cube, ses multiples et ses sous-multiples.
Unités de volume
Les unités de volume de référence sont mètre cube (m3), ainsi que ses multiples et ses sous-multiples :
- Le kilomètre cube (km3) est égal à 1 000 000 000 mètres cubes.
- L'hectomètre cube (hm3) est égal à 1 000 000 mètres cubes.
- Le décamètre cube (dam3) est égal à 1000 mètres cubes.
- Le décimètre cube (dm3) est égal à 0,001 mètre cube.
- Le centimètre cube (cm3) est égal à 0,000001 mètre cube.
- Le millimètre cube (mm3) est égal à 0,000000001 mètre cube.
4 \text{ dm}^3 = 0{,}004 \text{ m}^3
Les conversions entre les différents multiples et sous-multiples du mètre cube se font à l'aide du tableau de conversion suivant :
| km3 | hm3 | dam3 | m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
-
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 0, 0 0 0 0 0 5 2 4 6 5\ 246 \text{ cm}^3 = 0{,}000005246 \text{ dam}^3
-
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 1 5 0 0 0 15 \text{ km}^3 = 15\ 000 \text{ hm}^3
Contrairement au tableau de conversion des multiples du mètre et du mètre carré, ce tableau comporte trois colonnes par unité.
Les unités de contenance
Les unités de contenance de référence sont le litre, ses multiples et ses sous-multiples.
Contenance
La contenance d'un récipient est la mesure de la quantité qui peut être contenue dans ce dernier.
Elle s'exprime dans une unité de contenance donnée.
Une canette de soda contient 33 cL de soda.
Unités de contenance
Les unités de contenance de référence sont le litre, ainsi que ses multiples et ses sous-multiples :
- Le kilolitre (kL) est égal à 1 000 litres.
- L'hectolitre (hL) est égal à 100 litres.
- Le décalitre (daL) est égal à 10 litres.
- Le décilitre (dL) est égal à 0,1 litre.
- Le centilitre (cL) est égal à 0,01 litre.
- Le millilitre (mL) est égal à 0,001 litre.
140 \text{ L} = 1{,}4 \text{ hL}
Les conversions entre les différents multiples et sous-multiples du litre se font à l'aide du tableau de conversion suivant :
| Kilolitre (kL) | Hectolitre (hL) | Décalitre (daL) | Litre (L) | Décilitre (dL) | Centilitre (cL) | Millilitre (mL) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 000 L | 100 L | 10 L | 1 L | 0,1 L | 0,01 L | 0,001 L |
-
Kilolitre (kL) Hectolitre (hL) Décalitre (daL) Litre (L) Décilitre (dL) Centilitre (cL) Millilitre (mL) 1 3 0 0 0
13 \text{ hL} = 13\ 000 \text{ dL} -
Kilolitre (kL) Hectolitre (hL) Décalitre (daL) Litre (L) Décilitre (dL) Centilitre (cL) Millilitre (mL) 0, 0 4 7
47 \text{ cL} = 0{,}047 \text{ daL}
La correspondance entre les unités de volume et de contenance
Il existe une correspondance entre les unités de volume et de contenance. On peut la retranscrire dans un tableau de conversion.
Les unités de volume et de contenance sont liées. 1 L correspond à la contenance d'un cube d'1 dm d'arête. Ainsi :
1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3
- Un jerricane de 10 L peut contenir 10 dm3 d'air.
- 1 m3 de terre nécessite un contenant de 1 000 L pour être transporté.
On peut donc utiliser le tableau de conversion suivant :
| km3 | hm3 | dam3 | m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| kL | hL | daL | L | dL | cL | mL | ||||||||||||||
-
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 kL hL daL L dL cL mL 0, 1 7 7 177 \text{ mL} = 0{,}177 \text{ dm}^3
-
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 kL hL daL L dL cL mL 8 2 0 0 0 0 82 \text{ daL} = 820\ 000 \text{ dm}^3
Les volumes des solides usuels
Le volume d'un solide est la mesure de l'espace qu'il occupe dans une unité de volume donnée. Il existe des formules pour calculer les volumes de certains solides. C'est le cas notamment du pavé droit, du prisme droit et du cylindre de révolution.
Le volume d'un pavé droit
Le volume du pavé droit dépend de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur.
Le volume \mathcal{V} d'un pavé droit de longueur L, de largeur \ell et de hauteur h est donné par la formule :
\mathcal{V}=L\times \ell\times h
Le pavé droit ABCDEFGH possède une base carrée de côté 6 cm et une hauteur de 8 cm.
Son volume est donné par :
\mathcal{V}=L\times \ell\times h
\mathcal{V}=6\times 6\times 8
\mathcal{V}=288 \text{ cm}^3
Pour utiliser la formule donnant le volume d'un pavé droit, il faut faire attention à bien utiliser les dimensions L, \ell et h dans les mêmes unités.
Le pavé droit ABCDEFGH possède une base carrée de côté 60 cm et une hauteur de 8 m.
On sait que 8 \text{ m} = 800 \text{ cm}.
Son volume est donné par :
\mathcal{V}=L\times \ell\times h
\mathcal{V}=60\times 60\times 800
\mathcal{V}=2\, 880\, 000 \text{ cm}^3
Le volume d'un prisme droit
Le volume d'un prisme droit dépend de l'aire de sa base et de sa hauteur.
Le volume \mathcal{V} d'un prisme droit de base ayant pour aire \mathcal{A} et de hauteur h est donné par la formule :
\mathcal{V}=\mathcal{A}\times h
Le polyèdre ABCDEEFHGIJ est un prisme droit dont la base est un hexagone d'aire 50 cm2 et dont la hauteur est de 6 cm.
Le volume de ce prisme droit est donné par :
\mathcal{V}=\mathcal{A}\times h
\mathcal{V}=50\times 6
\mathcal{V}=300 \text{ cm}^2
Pour utiliser la formule donnant le volume d'un prisme droit, il faut faire attention à bien utiliser les dimensions A et h dans les mêmes unités.
Le polyèdre ABCDEEFHGIJ est un prisme droit dont la base est un hexagone d'aire 40 cm2 et dont la hauteur est de 87 mm.
On sait que 87 \text{ mm} = 8{,}7 \text{ cm}.
Le volume de ce prisme droit est donné par :
\mathcal{V}=\mathcal{A}\times h
\mathcal{V}=40\times 8{,}7
\mathcal{V}=348 \text{ cm}^2
Un pavé droit est un prisme droit.
La formule du volume d'un pavé droit peut donc être retrouvée à partir de celle donnant le volume d'un prisme droit.
Le volume d'un cylindre de révolution
L'aire d'un cylindre de révolution dépend du rayon de sa base et de sa hauteur.
Le volume \mathcal{V} d'un cylindre de révolution de rayon r et de hauteur h est donné par la formule :
\mathcal{V}=\pi\times r\times r\times h
ou
\mathcal{V}=\pi\times r^2\times h
On considère un cylindre de révolution de rayon 3 cm et de hauteur 8 cm.
Son volume est donné par :
\mathcal{V}=\pi\times 3\times 3\times 8
\mathcal{V}=\pi\times 72
\mathcal{V}=72\pi \text{ cm}^3
Une valeur approchée de \mathcal{V} est :
\mathcal{V}\approx 226{,}2 \text{ cm}^3
Pour utiliser la formule donnant le volume d'un cylindre, il faut faire attention à bien utiliser les dimensions r et h dans les mêmes unités.
On considère un cylindre de révolution de rayon 4,5 cm et de hauteur 70 mm.
On sait que 4{,}5 \text{ cm} = 45 \text{ mm}.
Son volume est donné par :
\mathcal{V}=\pi\times 45\times 45\times 70
\mathcal{V}=\pi\times 72
\mathcal{V}=141 750\pi \text{ mm}^3
Une valeur approchée de \mathcal{V} est :
\mathcal{V}\approx 226{,}2 \text{ cm}^3
Les calculs sur les durées et les horaires
La durée d'un événement correspond au temps entre deux instants : l'instant initial et l'instant final. On la calcule à partir d'horaires.
Durée
La durée d'un événement est le temps entre l'instant initial et l'instant final de l'événement.
Un TGV part de Paris à 06 h 25 min et arrive à Bordeaux à 09 h 42 min.
09 \text{ h } 42 \text{ min} - 06 \text{ h }25 \text{ min} = 3 \text{ h } 17 \text{ min}
La durée du trajet est de 3 h 17 min.
Il peut être nécessaire de modifier l'écriture de l'horaire de l'instant final si, par exemple, la soustraction des minutes entre les horaires des deux instants n'est pas possible.
Un TGV part de Paris à 06 h 40 min et arrive à Bordeaux à 10 h 32 min.
On remplace 10 h 32 min par 09 h 92 min avant d'effectuer la soustraction. On a enlevé 1 heure que l'on a remplacée par 60 minutes.
09 \text{ h } 92 \text{ min} - 06 \text{ h } 40 \text{ min} = 3 \text{ h } 52 \text{ min}
La durée du trajet est de 3 h 52 min.
Unités de durée
Les durées sont généralement mesurées à l'aide des unités jours (j), heures (h), minutes (min) et secondes (s). On a les correspondances suivantes :
- 1 minute = 60 secondes ;
- 1 heure = 60 minutes = 3 600 secondes ;
- 1 jour = 24 heures = 1 440 minutes.
On souhaite convertir 1 jour 2 heures et 44 minutes en secondes :
\text{1 j 2 h 44 min} =1\ 440\times60+2\times3\ 600+44\times60\text{ s}
\text{1 j 2 h 44 min}=86\ 400+7\ 200+2\ 640\text{ s}
\text{1 j 2 h 44 min = 96 240 s}
L'utilisation des nombres décimaux avec les durées peut prêter à confusion.
2,5 heures ne sont pas égales à 2 heures et 50 minutes mais à 2 heures et 0,5 heure. C'est-à-dire 2 heures et une demi-heure, ou encore 2 heures et 30 minutes.
On calcule de la manière suivante :
0{,}5\text{ h} = 0{,}5 \times60\text{ min}\\0{,}5\text{ h} = 30\text{ min}