Les fonctions affines
Définition
Fonction affine
Une fonction f est dite affine si elle est définie sur \mathbb{R} et si elle admet une expression du type :
f\left(x\right) = ax + b
Où a et b sont des réels quelconques.
La fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=2x+5 est une fonction affine.
Le sens de variation
On considère une fonction f affine d'expression f\left(x\right)=ax+b.
Si a \gt 0, f est strictement croissante sur \mathbb{R}
Si a \lt 0, f est strictement décroissante sur \mathbb{R}
La fonction affine définie par f\left(x\right)=7x-1 est une fonction croissante car a=7\gt0.
La fonction affine définie par f\left(x\right)=-3x+4 est une fonction décroissante car a=-3\lt0.
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction affine f, d'expression f\left(x\right)=ax+b, est la droite d'équation y = ax + b.
- Si a = 0, la fonction est constante égale à b, et sa droite représentative est parallèle à l'axe des abscisses.
- Si b = 0, la fonction est dite linéaire, et sa droite représentative passe par l'origine du repère.
On considère une fonction f affine d'expression f\left(x\right)=ax+b.
Si a \gt 0
La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine définie pour tout réel x par : f\left(x\right)=x+1
Si a \lt 0
La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine définie pour tout réel x par : f\left(x\right)=-x+1
Si a = 0
La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine définie pour tout réel x par : f\left(x\right)=3
La fonction carré
Définition
Fonction carré
La fonction carré f est définie pour tout réel x par :
f\left(x\right) = x^{2}
Le sens de variation
La fonction carré est :
- Décroissante sur \left] -\infty;0 \right]
- Croissante sur \left[ 0;+\infty \right[
Son tableau de variations est le suivant :
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction carré est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère.
La fonction racine carrée
Définition
Fonction racine carrée
La fonction racine carrée f est définie sur \mathbb{R}^{+} par :
f\left(x\right) = \sqrt{x}
Le sens de variation
La fonction racine carrée est croissante sur \mathbb{R}^+. Son tableau de variations est le suivant :
Soient deux réels positifs a et b tels que 0\leq a\lt b. Comparons alors \sqrt{a} et \sqrt{b}.
\sqrt{a}-\sqrt{b}=\dfrac{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\left( \sqrt{a} \right)^2-\left( \sqrt{b} \right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}
Pour tout a et b tels que 0\leq a\lt b, on a \sqrt{a}+\sqrt{b}\gt0 et a-b\lt0.
Par conséquent \sqrt{a}-\sqrt{b}\lt0\Leftrightarrow\sqrt{a}\lt\sqrt{b}.
La fonction racine carrée est donc croissante sur \mathbb{R}^+.
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction racine carrée est la suivante :
Comparaison de fonctions
- Pour tout x\in\left[ 1;+\infty \right[, \sqrt{x}\leq x\leq x^2.
- Pour tout x\in \left[ 0;1 \right[, x^2\leq x\leq \sqrt{x}.
La fonction inverse
Définition
Fonction inverse
La fonction inverse f est définie sur \mathbb{R}^{*} par :
f\left(x\right) = \dfrac{1}{x}
Le sens de variation
La fonction inverse est décroissante sur \left] -\infty;0 \right[ et sur \left] 0;+\infty \right[. Son tableau de variations est le suivant :
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole dont le centre est l'origine O du repère.
La fonction valeur absolue
Définition
Fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue f est définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = |x|
où :
- |x| = x si x \geq 0
- |x| = - x si x \lt 0
Valeur absolue et distance
Soit a un réel fixé. Pour tout réel x, la distance d entre x et a est la valeur absolue de la différence de x et a.
d=\left| x-a \right|
Résoudre une inéquation de la forme : \left| x-a \right|\leq b (b\gt0) revient à trouver les valeurs de x telles que la distance entre x et a soit inférieure ou égale à b.
\left| x -6\right|\leq 5 équivaut à x\in \left[ 1;11 \right].
En effet, quelle que soit la valeur de x\in \left[ 1;11 \right], la distance entre x et 6 est inférieure ou égale à 5.
Le sens de variation
La fonction valeur absolue est décroissante sur \left] -\infty;0 \right] et croissante sur \left[ 0;+\infty\right[. Son tableau de variations est le suivant :
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la suivante :
Opérations sur les fonctions et variations
Sens de variation de f+g
Si deux fonctions f et g ont le même sens de variation sur l'intervalle I, la fonction f + g possède également le même sens de variation sur I.
Soit f et g deux fonctions définies sur \left[ 0;+\infty \right[ par f\left(x\right)=x^2 et g\left(x\right)=5x+1. Ces deux fonctions sont croissantes sur \left[ 0;+\infty \right[.
La fonction h définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par h\left(x\right)=x^2+5x+1 est la somme des fonctions f et g.
La fonction h est donc croissante sur \left[ 0;+\infty \right[.
Sens de variation de kf avec k\gt0
Soit k un réel strictement positif.
La fonction kf possède le même sens de variation que la fonction f sur l'intervalle I.
Soit f la fonction définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par f\left(x\right)=x^2. Cette fonction est croissante sur \left[ 0;+\infty \right[.
La fonction h définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par h\left(x\right)=7x^2 est le produit de la fonction f par 7 qui est positif.
La fonction h a donc le même sens de variation que f donc h est croissante sur \left[ 0;+\infty \right[.
Sens de variation de kf avec k\lt0
Soit k un réel strictement négatif.
La fonction kf possède le sens de variation contraire à celui de la fonction f sur l'intervalle I.
Soit f la fonction définie sur \left] 0;+\infty \right[ par f\left(x\right)=\dfrac1x. f est décroissante sur \left] 0;+\infty \right[.
La fonction h définie sur \left] 0;+\infty \right[ par h\left(x\right)=\dfrac{-5}{x} est le produit de la fonction f par -5 qui est négatif.
La fonction h a donc le sens de variation contraire de f donc h est croissante sur \left] 0;+\infty \right[.
Sens de variation de \dfrac{1}{f}
Si la fonction f est de signe constant et ne s'annule pas sur un intervalle I, alors les fonctions f et \dfrac{1}{f} ont des sens de variation contraires sur I.
Soit f\left(x\right)=\dfrac1x une fonction définie et décroissante sur \left] 0;+\infty \right[.
Cette fonction est de signe constant et ne s'annule pas sur \left] 0;+\infty \right[.
La fonction h\left(x\right)=\dfrac{1}{f\left(x\right)} définie sur \left] 0;+\infty \right[ est l'inverse de la fonction f.
La fonction h a donc le sens de variation contraire de f donc h est croissante sur \left] 0;+\infty \right[.
Sens de variation de \sqrt f
Si la fonction f est positive sur un intervalle I, alors les fonctions f et \sqrt f ont le même sens de variation sur I.
Soit f la fonction définie sur \left] 0;+\infty \right[ par f\left(x\right)=\dfrac1x. f est décroissante sur \left] 0;+\infty \right[.
Cette fonction est bien positive sur \left] 0;+\infty \right[.
La fonction h définie sur \left] 0;+\infty \right[ par h\left(x\right)=\sqrt{f\left(x\right)} est la racine carrée de la fonction f.
La fonction h a donc le même sens de variation que celui de f donc h est décroissante sur \left] 0;+\infty \right[.