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Dernière modification : 31/08/2026 - Conforme au programme 2026-2027
Définitions et notations
Définitions
Les nombres décimaux positifs et négatifs
- Les nombres décimaux positifs sont les résultats des soustractions dans lesquelles le premier terme de la différence est supérieur au second terme.
- Les nombres décimaux négatifs sont les résultats des soustractions dans lesquelles le premier terme de la différence est inférieur au second terme.
Toutes les soustractions donnant un résultat négatif peuvent s'écrire sous la forme 0-a où a est un nombre décimal positif.
Le résultat de la soustraction 3-10 est égal au résultat de la soustraction 0-7.
En effet, 3-10=(3-3)-(10-3)=0-7.
Les nombres décimaux relatifs
Les nombres décimaux relatifs sont constitués des nombres décimaux positifs et des nombres décimaux négatifs.
On considère les nombres décimaux relatifs relativement à 0 :
- Les nombres décimaux positifs sont les nombres qui sont supérieurs à 0.
- Les nombres décimaux négatifs sont les nombres qui sont inférieurs à 0.
- 0 est le seul nombre qui est à la fois positif et négatif.
On peut utiliser les nombres relatifs pour représenter des grandeurs observables qui peuvent prendre des valeurs inférieures à zéro.
On peut par exemple utiliser les nombres relatifs pour exprimer :
- des températures, relativement à la température 0 °C ;
- des altitudes, relativement au niveau 0 de la mer ;
- des déplacements vers le haut ou vers le bas (comme le déplacement d'un ascenseur) ;
- des gains et des pertes d'argent.
Un nombre strictement positif est un nombre supérieur à 0 et qui n'est pas égal à 0.
On note le fait qu'un nombre a est strictement positif ainsi : a\gt0.
Un nombre strictement négatif est un nombre inférieur à 0 et qui n'est pas égal à 0.
On note le fait qu'un nombre a est strictement négatif ainsi : a\lt0.
Différentes écritures des nombres décimaux relatifs
Un nombre positif peut s'écrire de plusieurs manières différentes :
- avec son signe et entouré de parenthèses ;
- uniquement avec son signe ;
- sans son signe et sans parenthèses.
On peut par exemple écrire : (+25{,}36) ou +25{,}36 ou 25{,}36.
Un nombre négatif peut s'écrire de plusieurs manières différentes :
- avec son signe et entouré de parenthèses ;
- uniquement avec son signe.
Le signe d'un nombre négatif ne peut jamais être omis.
Le nombre 0-3\ 600 peut par exemple s'écrire : (-3\ 600) ou - 3\ 600.
Le nombre 0-1{,}125 peut par exemple s'écrire : (-1{,}125) ou - 1{,}125.
Dans un enchaînement de calculs :
- on peut mettre les parenthèses autour du premier nombre qui apparaît dans le calcul ;
- on peut omettre les parenthèses et le signe d'un nombre positif ;
- on n'a pas le droit d'écrire deux symboles + ou - d'affilée.
Le calcul (-10)+(+3{,}5)+(-7{,}5)-(-1)-(+2) peut également s'écrire ainsi :
\textcolor{Red}{-10}+(+3{,}5)+(-7{,}5)-(-1)-(+2), en enlevant les parenthèses du premier nombre qui apparaît dans le calcul.
Il peut également s'écrire ainsi :
-10+\textcolor{Green}{3{,}5}+(-7{,}5)-(-1)-\textcolor{Green}{2}, en enlevant les parenthèses et le signe + des nombres positifs (+3{,}5) et (+2).
On ne peut en revanche pas enlever les parenthèses des nombres (-7{,}5) et (-1) car on n'a pas le droit d'écrire deux symboles + ou - d'affilée.
La notion d'opposé
Opposé d'un nombre relatif
L'opposé d'un nombre relatif a est l'unique nombre relatif b tel que a + b = 0.
- On a 4{,}2+(-4{,}2)=0 donc -4{,}2 est l'opposé du nombre 4{,}2.
- On a (-250)+250=0 donc 250 est l'opposé du nombre -250.
L'opposé du nombre a se note -a.
Attention, -a n'est pas toujours un nombre négatif !
Si a=-23 alors -a=-(-23)=23. Le nombre -a est donc positif.
L'opposé de l'opposé d'un nombre relatif a est le nombre a.
Autrement dit :
-(-a)=a
-(-0{,}75)=0{,}75
On peut distinguer les différentes significations du signe – :
- le marqueur du nombre négatif ;
- la soustraction entre deux nombres ;
- l'opposé d'un nombre relatif.
- quand on écrit \textcolor{Red}{-}12, le signe \textcolor{Red}{-} est le marqueur d'un nombre négatif ;
- quand on écrit 3{,}5\textcolor{Green}{-}10, le signe \textcolor{Green}{-} indique une soustraction entre 3,5 et 10 ;
- quand on écrit \textcolor{Blue}{-}b, le signe \textcolor{Blue}{-} indique l'opposé du nombre relatif b.
La notion de valeur absolue
Valeur absolue d'un nombre relatif
La valeur absolue d'un nombre relatif a est le nombre qui est :
- égal à a si a est positif ;
- égal à -a si a est négatif.
- La valeur absolue du nombre +150{,}3 est égale à +150{,}3 car +150{,}3 est positif.
- La valeur absolue du nombre -526 est égal à 526 car -526 est négatif.
La valeur absolue d'un nombre relatif est toujours positive.
Deux nombres opposés ont la même valeur absolue.
- Les nombres -5{,}2 et 5{,}2 ont la même valeur absolue, à savoir 5{,}2.
-
Les nombres 2\ 300 et -2\ 300 ont la même valeur absolue, à savoir 2\ 300.
Le placement des nombres décimaux relatifs sur une droite graduée
Un nombre décimal relatif est repéré par un point placé sur une droite graduée. Les nombres positifs sont généralement représentés à droite de l'origine de cette droite, les nombres négatifs sont généralement représentés à gauche.
Droite graduée
Une droite graduée est une droite sur laquelle on choisit un point, appelé « origine de la droite graduée », un sens (de la gauche vers la droite en général) et une unité de longueur que l'on reporte à partir de l'origine, de part et d'autre de celle-ci.
Sur cette droite, on peut repérer chaque point par un nombre relatif :
- L'origine correspond au nombre 0.
- Les nombres positifs sont (en général) à droite de l'origine.
- Les nombres négatifs sont (en général) à gauche de l'origine.
Abscisse d'un point
Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre relatif appelé « abscisse du point ».
- L'abscisse du point A est égale à -2. On note A(-2).
- L'abscisse du point B est égale à 3{,}5. On note B(3{,}5).
- L'abscisse du point C est égale à -4{,}3. On note C(-4{,}3).
La valeur absolue d'un nombre décimal relatif est égale à la distance qui sépare de nombre de 0.
La valeur absolue du nombre 4 est égale à 4. La distance qui sépare 4 et 0 est égale à 4.
La valeur absolue du nombre -5 est égale à 5. La distance qui sépare -5 et 0 est égale à 5.
Sur une droite graduée, deux nombres opposés sont représentés par deux points symétriques par rapport à l'origine. Ces deux points sont donc à la même distance de l'origine.
Les nombres -3 et 3 sont opposés.
Les points M(-3) et N(3) sont symétriques par rapport au point O. Ils sont à la même distance du point O : 3 unités.
L'addition et la soustraction de nombres décimaux relatifs
L'addition de nombres décimaux relatifs
La somme de deux nombres positifs correspond à la somme déjà connue de ces nombres.
(+5)+(+2)=5+2=7
Le résultat de l'addition de deux nombres décimaux négatifs est :
- un nombre négatif ;
- dont la valeur absolue vaut la somme des valeurs absolues des deux termes.
Le résultat de l'addition d'un nombre décimal positif et d'un nombre décimal négatif est donné par :
- son signe : celui du nombre qui a la plus grande valeur absolue ;
- sa valeur absolue : on l'obtient en soustrayant les valeurs absolues des deux nombres.
La soustraction de nombres décimaux relatifs
Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Cela signifie que toute soustraction peut s'écrire comme une addition.
- 45 \textcolor{Red}{- (+12)} = 45 \textcolor{Red}{+ \left(-12\right)}=33
- -5-3=(-5)\textcolor{Red}{-(+3)}=(-5)\textcolor{Red}{+(-3)}=-8
- 15\textcolor{Red}{-(-4) }= 15\textcolor{Red}{+(+4)}=15+4=19
- -1-(-99)=(-1)\textcolor{Red}{-(+99)}=(-1)\textcolor{Red}{+(+99)}=98
Les soustractions dans lesquelles on enlève un nombre positif peuvent s'effectuer sans passer par l'écriture de la soustraction sous forme d'une addition.
Pour calculer 4-5, on peut imaginer qu'on se place sur le nombre 4 sur la droite graduée, puis que l'on recule de 5 unités. On arrive alors sur -1.
Donc 4-5=-1.
Pour calculer -1-3, on peut imaginer qu'on se place sur le nombre -1 sur la droite graduée, puis que l'on recule de 3 unités. On arrive alors sur -4.
Donc -1-3=-4.
Enchaînement d'additions et de soustractions de nombres décimaux relatifs
Dans un enchaînement d'additions et de soustractions :
- on commence par écrire les soustractions sous la forme d'additions en utilisant le principe « soustraire un nombre revient à ajouter son opposé » ;
- puis on calcule soit de gauche à droite, soit en regroupant les termes positifs d'une part et les termes négatifs d'autre part.
On souhaite calculer (+11) - \left(-16\right) + \left(-4\right) -(+9).
On commence par écrire les soustractions sous la forme d'additions :
(+11) \textcolor{Red}{-\left(-16\right)} + \left(-4\right) \textcolor{Green}{-(+9)}\\=(+ 11) \textcolor{Red}{+ (+16)} +(-4) \textcolor{Green}{+(-9)}
On peut ensuite calculer en regroupant les termes positifs d'une part et les termes négatifs d'autre part :
\textcolor{Red}{(+ 11) + (+16)} +\textcolor{Green}{(-4) +(-9)}\\=\textcolor{Red}{(+ 27)} +\textcolor{Green}{(-13)}\\=14
On souhaite calculer -5+30+(-20)-(-11)+3-8.
On commence par écrire les soustractions sous la forme d'additions :
-5+30+(-20)\textcolor{Red}{-(-11)}+3\textcolor{Green}{-8}\\=-5+30+(-20)\textcolor{Red}{+11}+3\textcolor{Green}{+(-8)}
On peut ensuite calculer de gauche à droite :
\textcolor{Red}{-5+30}+(-20)+11+3+(-8)\\=\textcolor{Red}{25+(-20)}+11+3+(-8)\\=\textcolor{Red}{5+11}+3+(-8)\\=\textcolor{Red}{16+3}+(-8)\\=19+(-8)\\=11
Comparer, ranger, encadrer des nombres décimaux relatifs
Comparer des nombres relatifs
Comparer deux nombres relatifs revient à voir lequel est le plus grand, et inversement. Trois cas se présentent : la comparaison de deux nombres positifs, la comparaison de deux nombres négatifs, et la comparaison d'un nombre positif et d'un nombre négatif.
Lorsqu'on compare deux nombres relatifs, trois cas se présentent.
Les deux nombres sont positifs
Si les deux nombres sont positifs, on peut utiliser la règle usuelle pour les comparer.
Les deux nombres sont négatifs
Si les deux nombres sont négatifs, le plus grand des deux est celui qui a la plus petite valeur absolue.
Un des deux nombres est positif et l'autre est négatif
Le nombre négatif est toujours inférieur au nombre positif.
- On cherche à comparer 2 et 5. Ces deux nombres sont positifs, donc 2\lt 5.
- On cherche à comparer -2,3 et -5,7. Ces deux nombres sont négatifs.
La valeur absolue de -2,3 est 2,3 et la valeur absolue de -5,7 est 5,7. Or on sait que 2{,}3\lt 5{,}7. Donc -2{,}3\gt -5{,}7. - On cherche à comparer 20 et -5,3. 20 est positif et -5,3 est négatif, donc -5{,}3\lt 20.
Ranger des nombres relatifs
Ordre croissant et ordre décroissant
- Ranger des nombres relatifs dans l'ordre croissant consiste à les écrire du plus petit au plus grand.
- Ranger des nombres relatifs dans l'ordre décroissant consiste à les écrire du plus grand au plus petit.
Pour ranger des nombres relatifs, on utilise les propriétés permettant de comparer deux nombres relatifs.
On souhaite ranger les nombres suivants dans l'ordre croissant :
5 ; 6,7 ; -3,4 ; 3,4 ; 0 ; -1
On obtient :
-3{,}4\lt-1\lt0\lt3{,}4\lt5\lt6{,}7
À l'inverse, dans l'ordre décroissant on obtient :
6{,}7\gt5\gt3{,}4\gt0\gt-1\gt-3{,}4
Pour ranger des nombres relatifs, on peut ranger les nombres négatifs d'une part et les nombres positifs d'autre part.
Ensuite, on utilise le fait qu'un nombre positif est toujours supérieur à un nombre négatif.
On souhaite ranger les nombres suivants dans l'ordre croissant :
16,9 ; 22,5 ; -11 ; -13,6 ; 16,85 ; -11,5 ; 22,05 ; -8,02.
D'une part on range les nombres négatifs dans l'ordre croissant :
-13{,}6 \lt -11{,}5\lt -11 \lt-8{,}02
D'autre part on range les nombres négatifs dans l'ordre croissant :
16{,}85 \lt16{,}9 \lt22{,}05 \lt22{,}5
Et comme les nombres négatifs sont inférieurs aux nombres positifs, on en déduit que :
-13{,}6 \lt -11{,}5\lt -11 \lt-8{,}02\lt16{,}85 \lt16{,}9 \lt22{,}05 \lt22{,}5
Encadrer un nombre relatif
Encadrer un nombre relatif revient à déterminer deux nombres : un nombre qui est inférieur au nombre relatif de départ, et un nombre qui est supérieur au nombre relatif de départ.
Encadrer un nombre décimal relatif
Encadrer un nombre décimal relatif a par deux autres nombres relatifs, c'est déterminer deux nombres b et c tels que b\lt a\lt c.
On peut encadrer le nombre -3,7 de la manière suivante :
-4\lt-3{,}7\lt-3
On peut visualiser cet encadrement sur une droite graduée : le nombre -3,7 est placé entre les nombres -4 et -3.
