Les lois de probabilités discrètes
Variables aléatoires
Variable aléatoire
Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement de l'univers d'une expérience aléatoire.
L'ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire réelle X est noté X\left( \Omega \right).
On lance un dé équilibré.
- Si la face obtenue est supérieure ou égale à 5, on remporte une somme égale au double du nombre de la face.
- Si la face est 1 ou 2, on ne remporte rien.
- Enfin, dans les autres cas, on remporte un gain égal au nombre inscrit sur la face.
On appelle X la variable aléatoire qui associe, à chaque issue de cette expérience (face 1, face 2, etc.), le gain algébrique du joueur.
- Si les faces obtenues sont 5 ou 6, les gains algébriques respectifs sont : 10 € ou 12 €.
- Si les faces obtenues sont 3 ou 4, les gains algébriques respectifs sont : 3 € ou 4 €.
- Si les faces obtenues sont 1 ou 2, le gain algébrique est identique : 0 €.
Par conséquent la variable aléatoire peut prendre les valeurs : 0; 3; 4; 10; 12.
On note : X\left( \Omega \right)=\left\{ 0; 3; 4; 10; 12\right\}
Lois de probabilité
Loi de probabilité
Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs : X\left(\Omega\right) = \{x_{1}, x_{2},..., x_{n}\}. La loi de probabilité de X associe à chaque réel x_{i} la probabilité P\left(\left\{ X = x_{i} \right\}\right), que l'on peut noter en abrégé P\left(X = x_{i}\right).
On présente en général une loi de probabilité à l'aide d'un tableau.
| Issues x_{i} | x_{1} | x_{2} | ... | x_{n} |
|---|---|---|---|---|
| Probabilités P\left(X = x_{i}\right) | P\left(X = x_{1}\right) | P\left(X = x_{2}\right) | ... | P\left(X = x_{n}\right) |
Dans le jeu décrit précédemment, on a X\left( \Omega \right)=\left\{0; 3; 4; 10; 12\right\}.
Par ailleurs :
- X prend la valeur 10 si l'on obtient un 5, c'est-à-dire avec la probabilité \dfrac{1}{6}
- X prend la valeur 12 si l'on obtient un 6, c'est-à-dire avec la probabilité \dfrac{1}{6}
- X prend la valeur 3 si l'on obtient un 3, c'est-à-dire avec la probabilité \dfrac{1}{6}
- X prend la valeur 4 si l'on obtient un 4, c'est-à-dire avec la probabilité \dfrac{1}{6}
- X prend la valeur 0 si l'on obtient un 1 ou un 2, c'est-à-dire avec la probabilité \dfrac{2}{6}
La loi de probabilité est alors donnée par le tableau qui suivant :
| Issues x_i | 0 | 3 | 4 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| Probabilités P\left(X=x_i\right) | \dfrac26 | \dfrac16 | \dfrac16 | \dfrac16 | \dfrac16 |
La somme des probabilités associées aux différentes valeurs que peut prendre une variable aléatoire est toujours égale à 1 :
P\left(X = x_{1}\right) + P\left(X = x_{2}\right) +... + P\left(X = x_{n}\right) = 1
On considère la loi de probabilité suivante :
| x_i | 0 | 3 | 4 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| P\left(X=x_i\right) | \dfrac26 | \dfrac16 | \dfrac16 | \dfrac16 | \dfrac16 |
On a bien :
P\left(X=0\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=10\right)+P\left(X=12\right)=\dfrac26+\dfrac16+\dfrac16+\dfrac16+\dfrac16=1
Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire X veut dire :
- Lister les différentes valeurs que peut prendre X, ce qui revient à déterminer X\left( \Omega \right).
- Donner, pour toutes les valeurs k prises par X, la probabilité de l'événement \left\{ X=k\right\}.
Espérance
Espérance
L'espérance d'une variable aléatoire X est le réel :
E\left(X\right) =\sum _{i=0}^{n}x_{i} P\left(X = x_{i}\right)=x_{0} P\left(X = x_{0}\right)+x_{1} P\left(X = x_{1}\right)+...+x_{n} P\left(X = x_{n}\right)
On considère la loi de probabilité suivante :
| x_i | 0 | 3 | 4 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| P\left(X=x_i\right) | \dfrac26 | \dfrac16 | \dfrac16 | \dfrac16 | \dfrac16 |
On peut calculer l'espérance :
E\left(X\right)=0\times\dfrac26+3\times\dfrac16+4\times\dfrac16+10\times\dfrac16+12\times\dfrac16=\dfrac{29}{6}
Soit :
E\left(X\right)\approx4{,}83
L'espérance d'une variable aléatoire X peut s'interpréter comme la valeur moyenne des valeurs observées pour X lorsque l'on répète l'expérience un grand nombre de fois.
Répétition d'expériences identiques et indépendantes
Modélisation à l'aide d'un arbre
Arbre pondéré
On peut modéliser une expérience aléatoire dont l'univers est partitionné en quelques événements (en général deux ou trois) à l'aide d'un arbre pondéré :
- Les différents événements partitionnant l'univers sont indiqués à l'extrémité des branches de l'arbre.
- La probabilité de chaque événement faisant partie de la partition de l'univers est inscrite sur la branche conduisant à cet événement.
On lance un dé équilibré. On appelle A : "Obtenir le 6". On a :
p\left(A\right)=\dfrac{1}{6}.
On peut modéliser cette expérience par l'arbre pondéré suivant :
La somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même point est égale à 1.
Expériences indépendantes
Expériences indépendantes
Deux expériences sont dites indépendantes si le résultat de l'une n'a aucune influence sur le résultat de l'autre.
Le fait de lancer deux fois une pièce de monnaie constitue la répétition de deux épreuves identiques (lancer une pièce) et indépendantes, car le résultat du second lancer ne dépend pas du résultat du premier lancer.
Modélisation de la répétition de deux expériences identiques et indépendantes
On représente la répétition d'expériences identiques et indépendantes par un arbre pondéré.
Dans un arbre pondéré représentant la répétition d'expériences identiques et indépendantes, la probabilité d'un événement est le produit des probabilités apparaissant sur les branches de chemin représentant l'événement.
On lance deux fois de suite une pièce de monnaie. On note A l'événement "obtenir PILE" et \overline{A} l'événement "obtenir FACE".
On a ici :
p\left(A\right)=\dfrac12 et p\left( \overline{A} \right)=\dfrac12.
On modélise la situation grâce à l'arbre pondéré ci-dessous.
Le chemin AA correspond à l'événement "obtenir deux fois PILE", qui a pour probabilité : \dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14.
Le chemin \overline{A}\text{ }\overline{A} correspond à l'événement "obtenir deux fois FACE", qui a pour probabilité : \dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14.
Enfin, l'événement "obtenir une fois PILE et une fois FACE" est formé des deux chemins A\overline{A} et \overline{A}A. Sa probabilité est : \dfrac12\times \dfrac12+\dfrac12\times \dfrac12=\dfrac12.