On met en place une loterie sans mise initiale. Le jeu consiste à tirer au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
- Si on tire 7,8,9 ou 10 on perd 25 €.
- Si on tire une figure (valet, dame ou roi) on gagne 15 €.
- Si on tire un as, on gagne 30 €.
On appelle X la variable aléatoire égale au gain algébrique du jeu.
Quelle est la loi de X ?
Valeurs possibles de X
X peut donc valoir :
- -25 si le joueur perd 25€.
- 15 si le joueur gagne 15€.
- 30 si le joueur gagne 30€.
Calcul des probabilités
- Le joueur perd 25€ s'il tire 7, 8, 9 ou 10, avec une probabilité de \dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{2}. Donc p\left(X=-25\right)=\dfrac{1}{2}
- Le joueur gagne 15€ s'il tire un valet, une dame ou un roi avec une probabilité de \dfrac{12}{32}=\dfrac{3}{8}. Donc p\left(X=15\right)=\dfrac{3}{8}
- Le joueur gagne 30€ s'il tire un as avec une probabilité de \dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}. Donc p\left(X=30\right)=\dfrac{1}{8}
Loi de probabilités
On résume les résultats dans un tableau qui donne la loi de probabilité de X :
| x_i | -25 | 15 | 30 |
|---|---|---|---|
| p\left(X=x_i\right) | \dfrac{1}{2} | \dfrac{3}{8} | \dfrac{1}{8} |
Un joueur joue à la roulette. Il mise 5€ sur le numéro 2 et gagne 50€ si le numéro 2 sort. Il perd sa mise dans les 36 autres cas. On appelle X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Quelle est la loi de X ?
Valeurs possibles de X
Le joueur mise 5€. X peut donc valoir :
- 50-5=45 si le numéro 2 sort.
- 0-5=-5 si le numéro 2 ne sort pas.
Calcul des probabilités
Le joueur gagne 45€ si le numéro 2 sort, avec une probabilité de \dfrac{1}{37}. Donc p\left(X=45\right)=\dfrac{1}{37}
Le joueur perd 5€ dans tous les autres cas avec une probabilité de \dfrac{36}{37}. Donc p\left(X=-5\right)=\dfrac{36}{37}
Loi de probabilités
On résume les résultats dans un tableau qui donne la loi de probabilité de X :
| x_{i} | -5 | 45 |
|---|---|---|
| P\left(X=x_{i}\right) | \dfrac{36}{37} | \dfrac{1}{37} |
On lance un dé cubique équilibré à 2 faces marquées 3, une face marquée 4 et trois faces marquées 6.
On appelle X, la variable aléatoire égale au nombre de points marqués.
Quelle est la loi de X ?
Valeurs possibles de X
X peut donc valoir :
- 3 si le dé tombe sur la face marquée 3.
- 4 si le dé tombe sur la face marquée 4.
- 6 si le dé tombe sur la face marquée 6.
Calcul des probabilités
- Le dé tombe sur une face marquée 3 donc X prend la valeur 3. Or il y a 2 faces marquées 3 donc le joueur marque 3 points avec une probabilité de \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}. Donc P\left(X=3\right)=\dfrac{1}{3}.
- Le dé tombe sur une face marquée 4 donc X prend la valeur 4. Or il y a 1 faces marquées 4 donc le joueur marque 4 points avec une probabilité de \dfrac{1}{6}. Donc P\left(X=4\right)=\dfrac{1}{6}.
- Le dé tombe sur une face marquée 6 donc X prend la valeur 6. Or il y a 3 faces marquées 6 donc le joueur marque 6 points avec une probabilité de \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}. Donc P\left(X=6\right)=\dfrac{1}{2}.
Loi de probabilités
On résume les résultats dans un tableau qui donne la loi de probabilité de X :
| x_i | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|
| p\left(X=x_i\right) | \dfrac{1}{3} | \dfrac{1}{6} | \dfrac{1}{2} |
On lance deux pièces de monnaie bien équilibrées. Le joueur paye 3 euros. Si le lancer amène deux "faces", on gagne 30 €. Si le lancer amène une "face", on gagne 10 €. On appelle X le gain obtenu.
Quelle est la loi de X ?
Valeurs possibles de X
X peut donc valoir :
- 30-3=27 si le lancer amène un gain de 27€.
- 10-3=7 si le lancer amène un gain de 7€.
- -3 si le lancer amène une perte de 3€.
Calcul des probabilités
- Le lancer amène un gain de 27€ avec une probabilité de \dfrac{1}{4}. Donc P\left(X=27\right)=\dfrac{1}{4}
- Le lancer amène un gain de 7€ avec une probabilité de \dfrac{1}{2}. Donc P\left(X=7\right)=\dfrac{1}{2}
- Le lancer amène une perte de 3€ avec une probabilité de \dfrac{1}{4}. Donc P\left(X=-3\right)=\dfrac{1}{4}
Loi de probabilités
On résume les résultats dans un tableau qui donne la loi de probabilité de X :
| x_i | -3 | 7 | 27 |
|---|---|---|---|
| p\left(X=x_i\right) | \dfrac{1}{4} | \dfrac{1}{2} | \dfrac{1}{4} |
On lance 3 fois une pièce de monnaie. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de "piles" obtenues.
Quelle est la loi de X ?
Valeurs possibles de X
X peut donc valoir 0, 1, 2 ou 3.
Calcul des probabilités
- Si aucun "pile" n'apparaît alors X prend la valeur 0 avec une probabilité de \dfrac{1}{8}. Donc P\left(X=0\right)=\dfrac{1}{8}.
- Si "pile" apparaît une fois alors lors X prend la valeur 1 avec une probabilité de \dfrac{3}{8}. Donc P\left(X=1\right)=\dfrac{3}{8}.
- Si "pile" apparaît deux fois lors X prend la valeur 2 avec une probabilité de \dfrac{3}{8}. Donc P\left(X=2\right)=\dfrac{3}{8}.
- Si "pile" apparaît trois fois lors X prend la valeur 3 avec une probabilité de \dfrac{1}{8}. Donc P\left(X=3\right)=\dfrac{1}{8}.
Loi de probabilités
On résume les résultats dans un tableau qui donne la loi de probabilité de X :
| x_{i} | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| p\left(X=x_{i}\right) | \dfrac{1}{8} | \dfrac{3}{8} | \dfrac{3}{8} | \dfrac{1}{8} |