On peut décrire une expérience aléatoire en utilisant un arbre de probabilités lorsque l'expérience comporte plusieurs étapes. Celui-ci permet de comprendre l'enchaînement des événements et la probabilité avec laquelle ces événements sont réalisés.
On considère une urne contenant 4 boules numérotées de 1 à 4. On tire deux boules successivement et sans remise dans cette urne.
- On note A_i l'événement "la première boule tirée porte le numéro i ". On définit ainsi A_1, A_2, A_3 et A_4.
- On note B_i l'événement "la deuxième boule tirée porte le numéro i ". On définit ainsi B_1, B_2, B_3 et B_4.
Dresser un arbre de probabilités représentant la situation.
Identifier les événements étudiés
On détermine dans l'énoncé les différents critères étudiés et les événements associés.
Par exemple, on peut étudier la couleur de cheveux des individus et les événements associés pourront être "être blond", "être brun" et "être roux".
En général, deux critères sont étudiés mais il peut y en avoir plus.
On considère ici deux critères :
- Le premier numéro tiré, les événements correspondants étant A_1, A_2, A_3 et A_4
- Le deuxième numéro tiré, les événements correspondants étant B_1, B_2, B_3 et B_4
Tracer les branches de l'arbre
On trace la première branche correspondant au premier critère, puis, à partir de chaque branche, on trace de nouvelles branches correspondant aux différents événements possibles pour le deuxième critère étudié.
On obtient un arbre du type :
L'arbre de probabilités aura alors :
- Sur les 4 premières branches, les événements A_1, A_2, A_3 et A_4
- Ensuite trois branches partant de chacune des branches précédentes. En effet, comme la boule tirée au première tirage n'est pas remise dans l'urne, il n'en reste que trois pour le deuxième tirage.
On obtient l'arbre suivant :
Ajouter les probabilités
Sur chaque branche, on ajoute la probabilité de l'événement correspondant.
On calcule les probabilités :
- Au premier tirage, il y a 4 boules dans l'urne et chaque boule peut être tirée de manière équiprobable. Donc p\left(A_1\right)=p\left(A_2\right)=p\left(A_3\right)=p\left(A_4\right)= \dfrac{1}{4}.
- Au deuxième tirage, il y n'y a plus que 3 boules dans l'urne donc chacune a la probabilité \dfrac{1}{3} d'être tirée.
On obtient finalement l'arbre de probabilités suivant :
