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Dernière modification : 27/08/2026 - Conforme au programme 2026-2027
Définition de la symétrie centrale
La symétrie centrale d'un point ou d'une figure se fait par rapport à un point. Elle conserve les propriétés de la figure d'origine et a des effets bien spécifiques sur les figures géométriques.
Symétrie centrale
La symétrie centrale est un demi-tour autour d'un point, c'est-à-dire un tour de 180° autour d'un point.
Le point autour duquel on tourne est appelé le centre de la symétrie.
On veut faire effectuer un demi-tour à la figure F ci-dessous autour du point O.
On peut effectuer le demi-tour dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) :
On peut également effectuer le demi-tour dans le sens anti-horaire (sens inverse des aiguilles d'une montre). On obtient le même résultat.
Quand on fait effectuer un demi-tour autour d'un point O à une figure F, on obtient une figure F' qui lui est superposable (de même forme et de même taille).
On dit alors que la figure F' est le symétrique de la figure F par rapport au point O.
On peut dire aussi que les figures F et F' sont symétriques par rapport au point O.
Le symétrique du point O, centre de la symétrie, est le point O lui-même.
On dit que le point O est invariant par la symétrie de centre O.
Méthode de construction du symétrique d'une figure par symétrie centrale
Si deux points A et B sont symétriques par rapport à un point O, alors le point O est le milieu du segment [AB].
Réciproquement, si un point O est le milieu d'un segment [AB], alors les points A et B sont symétriques par rapport au point O.
Par exemple, dans la figure précédente, les points A et B sont symétriques par rapport au point O.
Le point O est le milieu du segment [AB].
Cette propriété donne une méthode pour construire le symétrique d'une figure par rapport à un point.
On veut construire le symétrique de la figure ABCDE par rapport au point F.
On sait que deux points M et N sont dits symétriques par rapport à un point O lorsque le point O est le milieu du segment [MN] .
Donc ici, on construit le symétrique A' du point A en plaçant le point A' de sorte que le point F soit le milieu du segment [AA′] .
Pour cela, on peut tracer la demi-droite [AF) puis reporter sur cette demi-droite la longueur FA à partir du point F.
On procède de la même manière pour les points B', C', D' et E', symétriques respectifs des points B, C, D et E par rapport au point F.
Et on obtient donc que le symétrique de la figure ABCDE par rapport au point F est la figure A'B'C'D'E' suivante :
Propriétés de la symétrie centrale
La symétrie centrale possède des propriétés appelées propriétés de conservation.
La symétrie centrale conserve l'alignement :
- Les symétriques de points alignés sont des points alignés.
- Le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite.
Les points A, B et C sont alignés. Les points A', B' et C', leurs symétriques respectifs par rapport au point O, sont alignés également.
Le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle.
La droite d' est le symétrique de la droite d par rapport au point O.
Les droites d et d' sont parallèles.
La symétrie centrale conserve le parallélisme. Autrement dit, les symétriques de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
Les droites (d) et (t) sont parallèles.
Les droites (d') et (t'), leurs symétriques respectives par rapport au point O, sont parallèles également.
La symétrie centrale conserve les longueurs. Autrement dit, le symétrique d'un segment est un segment de même longueur.
Le segment [A'B'] est le symétrique du segment [AB] par rapport au point O.
Le segment [A'B'] est de même longueur que le segment [AB].
Autrement dit :
A'B'=AB
La symétrie centrale conserve les mesures d'angles. Autrement dit, le symétrique d'un angle est un angle de même mesure.
L'angle \widehat{A'B'C'} est le symétrique de l'angle \widehat{ABC} par rapport au point O.
L'angle \widehat{A'B'C'} est de même mesure que l'angle \widehat{ABC}.
Autrement dit :
\widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC}
Centre de symétrie d'une figure et parallélogramme
Centre de symétrie
On dit qu'une figure possède un centre de symétrie si son symétrique par rapport à ce centre est la figure elle-même.
Le point O est le centre de symétrie de la figure ci-dessous.
Une figure fermée possède au plus un centre de symétrie.
Autrement dit, pour une figure fermée, il existe seulement deux possibilités : soit elle admet un centre de symétrie, soit elle n'en admet aucun.
Cet octogone admet un centre de symétrie.
Cette figure n'admet pas de centre de symétrie.
Un quadrilatère qui possède un centre de symétrie est un parallélogramme. Autrement dit :
- Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors il admet un centre de symétrie.
- Si un quadrilatère admet un centre de symétrie, alors c'est un parallélogramme.
Dans ce cas, le centre de symétrie est le point d'intersection des diagonales.
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Il admet un centre de symétrie : le point O.
Les propriétés du parallélogramme découlent du fait qu'il admet un centre de symétrie :
- ses côtés opposés sont symétriques par rapport au point O donc ils sont parallèles et de même longueur ;
- les sommets opposés sont symétriques par rapport au point O donc les diagonales se coupent en leur milieu.
Frises, pavages et rosaces
On peut identifier des symétries centrales dans certaines frises.
On considère la frise ci-dessous :
Deux motifs successifs de cette frise sont symétriques par rapport à un point. Par exemple :
- les deux motifs bleus sont symétriques par rapport au point A ;
- les deux motifs rose sont symétriques par rapport au point B.
On peut identifier des symétries centrales dans certaines pavages.
On considère le pavage ci-dessous :
Certains motifs de ce pavage sont symétriques par rapport à un point. Par exemple :
- les motifs 14 et 25 par rapport au point H ;
- les motifs 13 et 6 sont symétriques par rapport au point B.
On peut identifier des symétries centrales dans des rosaces.
On considère la rosace ci-dessous :
Certains motifs de cette rosace sont symétriques par rapport à un point. Par exemple :
- les motifs bleus sont symétriques par rapport au point O ;
- les motifs 1 et 2 sont symétriques par rapport au point O.