On donne la loi de probabilité suivante :
| x_i | 0 | 2 | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| p\left(X=x_i\right) | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,5 | 0,1 |
Quelle est la valeur de la variance V\left(X\right) ?
La variance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :
V\left(X\right)=\sum_{a}^{b}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)-\left(E\left(X\right)\right)^2
Calcul de l'espérance
L'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\sum_{}^{}x_ip\left(X=x_i\right)
Ici, d'après la loi de probabilité, on obtient :
E\left(X\right)=0\times0{,}1+2\times0{,}2+3\times0{,}1+4\times0{,}5+6\times0{,}1
E\left(X\right)=0{,}4+0{,}3+2+0{,}6
E\left(X\right)=3{,}3
Calcul de la somme intermédiaire
On peut ensuite calculer la somme intermédiaire :
\sum_{}^{}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)=0^2\times0{,}1+2^2\times0{,}2+3^2\times\ 0{,}1+4^2\times 0{,}5+6^2\times0{,}1
\sum_{}^{}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)=0{,}8+0{,}9+8+3{,}6
\sum_{}^{}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)=13{,}3
Calcul de la variance
On peut enfin calculer la variance :
V\left(X\right)=\sum_{a}^{b}\left(x_i\right)^2p\left(X=x_i\right)-\left(E\left(X\right)\right)^2
V\left(X\right)=13{,}3-\left(3{,}3\right)^{2}
V\left(X\right)=13{,}3-10{,}89
V\left(X\right)=2{,}41
V\left(X\right)=2{,}41
Quelle est la valeur de l'écart-type \sigma\left(X\right) ?
On a :
\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}
Ainsi, d'après la question précédente, on obtient :
\sigma\left(X\right)=\sqrt{2{,}41}
\sigma\left(X\right)\approx1{,}55