Dans quelle proposition a-t-on établi l'encadrement suivant en utilisant l'inégalité de la moyenne ?
\dfrac{2}{3}\leq\int_{0}^{2} \dfrac{1}{x+1} \ \mathrm dx\leq2
On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0;2\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x+1}.
f est définie et continue sur cet intervalle, car son dénominateur ne s'y annule pas.
Or, pour tout x de l'intervalle \left[0;2\right], on a :
0\leqslant x\leqslant2
1\leq x+1\leq 3 et donc, par passage aux inverses de nombres de même signe :
\dfrac{1}{1}\geq \dfrac{1}{x+1}\geq\dfrac{1}{3}, c'est-à-dire :
\dfrac{1}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1
D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).
Ici, f est continue sur \left[0;2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0;2\right], on a \dfrac{1}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :
\dfrac{1}{3}\left(2-0\right)\leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 1\left(2-0\right)
\dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 2
On a bien \dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2}\dfrac{1}{x+1} \ \mathrm dx\leq 2
Dans quelle proposition a-t-on établi l'encadrement suivant en utilisant l'inégalité de la moyenne ?
\dfrac{\pi}{6}\leq\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos\left(x\right) \ \mathrm dx\leq\dfrac{\pi}{3}
On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right], f\left(x\right)=\cos\left(x\right).
f est définie, continue et décroissante sur cet intervalle.
Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right], on a :
0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{3}
Et donc, par passage au cosinus :
\cos\left(o\right) \geq \cos\left(x\right) \geq \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right), c'est-à-dire :
\dfrac{1}{2}\leq f\left(x\right)\leq 1
D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).
Ici, f est continue sur \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right], on a \dfrac{1}{2}\leq f\left(x\right)\leq 1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :
\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\pi}{3}-0\right)\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{3}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 1\left( \dfrac{\pi}{3}-0\right)
\dfrac{\pi}{6}\leq \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{3}
On a bien \dfrac{\pi}{6}\leq \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{3}
Dans quelle proposition a-t-on établi l'encadrement suivant en utilisant l'inégalité de la moyenne ?
\dfrac{2\ln\left(2\right)}{3}\leq\int_{0}^{\ln\left(2\right)} \dfrac{2}{e^x+1} \ \mathrm dx\leq \ln\left(2\right)
On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0;ln2\right], f\left(x\right)=\dfrac{2}{e^x+1}.
f est définie et continue sur cet intervalle, car son dénominateur ne s'y annule pas.
Or, pour tout x de l'intervalle \left[0;ln2\right], on a :
0\leqslant x\leqslant ln2
1\leq e^x \leq 2
2\leq e^x +1 \leq 3
Et donc, par passage aux inverses de nombres de même signe :
\dfrac{1}{2}\geq \dfrac{1}{e^x+1}\geq\dfrac{1}{3},
\dfrac{2}{2}\geq \dfrac{2}{e^x+1}\geq\dfrac{2}{3}
c'est-à-dire :
\dfrac{2}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1
D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).
Ici, f est continue sur \left[0;ln2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0;ln2\right], on a \dfrac{2}{3}\leq f\left(x\right)\leq 1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :
\dfrac{2}{3}\left(ln2-0\right)\leq \int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 1\left(ln2-0\right)
\dfrac{2\ln\left(2\right)}{3}\leq \int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \ln\left(2\right)
On a bien \dfrac{2\ln\left(2\right)}{3}\leq \int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \ln\left(2\right)
Dans quelle proposition a-t-on établi l'encadrement suivant en utilisant l'inégalité de la moyenne ?
2\left(e-1\right)\leq\int_{1}^{e} 2x^2+\ln\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \left(2e^2+1\right)\left(e-1\right)
On pose, pour tout x de l'intervalle \left[1,e\right], f\left(x\right)=2x^2+\ln\left(x\right).
f est définie et continue sur cet intervalle.
Or, pour tout x de l'intervalle \left[1,e\right], on a :
1\leqslant x\leqslant e
donc 2\leq 2x^2 \leq 2e^2
et 0\leq \ln\left(x\right) \leq 1
Ainsi,
2\leq 2x^2+\ln\left(x\right) \leq 2e^2+1
2\leq f\left(x\right) \leq 2e^2+1
D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).
Ici, f est continue sur \left[1,e\right] et pour tout réel x appartenant à \left[1,e\right], on a 2\leq f\left(x\right) \leq 2e^2+1. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :
2\left(e-1\right)\leq \int_{1}^{e} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \left(2e^2+1\right)\left(e-1\right)
On a bien 2\left(e-1\right)\leq \int_{1}^{e} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \left(2e^2+1\right)\left(e-1\right)
Dans quelle proposition a-t-on établi l'encadrement suivant en utilisant l'inégalité de la moyenne ?
\int_{0}^{ \frac{\pi}{6}} \sin\left(x\right) \ \mathrm dx
On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right], f\left(x\right)=\sin\left(x\right).
f est définie, continue et croissante sur cet intervalle.
Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right], on a :
0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{6}
donc 0 \leq \sin\left(x\right) \leq \dfrac{1}{2}
Ainsi,
0 \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{2}
D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).
Ici, f est continue sur \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; \dfrac{\pi}{6}\right], on a 0 \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{2}. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :
0\left( \dfrac{\pi}{6}-0\right)\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{6}-0\right)
0\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{12}
On a 0\leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{6}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{\pi}{12}
Dans quelle proposition a-t-on établi l'encadrement suivant en utilisant l'inégalité de la moyenne ?
\int_{0}^{ 1} \dfrac{1}{x^2+3}\ \mathrm dx
On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; 1\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2+3}.
f est définie et continue sur cet intervalle car son dénominateur ne s'y annule pas.
Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; 1\right], on a :
0\leqslant x\leqslant 1
0\leqslant x^2 \leqslant 1
3\leqslant x^2+3 \leqslant 4
et donc, en passant aux inverses sur des nombres de même signe :
\dfrac{1}{3} \geqslant \dfrac{1}{x^2+3} \geqslant \dfrac{1}{4}
Ainsi,
\dfrac{1}{4} \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{3}
D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).
Ici, f est continue sur \left[0; 1\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; 1\right], on a \dfrac{1}{4} \leq f\left(x\right) \leq \dfrac{1}{3}. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :
\dfrac{1}{4}\left(1-0\right)\leq \int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{3}\left(1-0\right)
\dfrac{1}{4}\leq \int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{3}
On a \dfrac{1}{4}\leq \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x^2+3} \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{3}
Dans quelle proposition a-t-on établi l'encadrement suivant en utilisant l'inégalité de la moyenne ?
\int_{0}^{ 2} \dfrac{1}{e^{-x}+2 } \ \mathrm dx
On pose, pour tout x de l'intervalle \left[0; 2\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{e^{-x}+2 } .
f est définie et continue sur cet intervalle car son dénominteur ne s'y annule pas.
Or, pour tout x de l'intervalle \left[0; 2\right], on a :
0\leqslant x\leqslant 2
En passant à l'exponentielle inverse,
e^{-0} \geqslant e^{-x } \geqslant e^{-2}
1 \geqslant e^{-x } \geqslant e^{-2}
3\geqslant e^{-x } +2 \geqslant e^{-2} +2
En passant aux inverses sur des nombres de même signe,
\dfrac{1}{3}\leqslant \dfrac{1}{e^{-x } +2} \leqslant\dfrac{1}{e^{-2} +2}
Ainsi,
\dfrac{1}{3}\leqslant f\left(x\right) \leqslant\dfrac{1}{e^{-2} +2}
D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).
Ici, f est continue sur \left[0; 2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[0; 2\right], on a \dfrac{1}{3}\leqslant f\left(x\right) \leqslant\dfrac{1}{e^{-2} +2}. Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :
\dfrac{1}{3}\left(2-0\right) \leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{1}{e^{-2} +2} \left(2-0\right)
\dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{2}{e^{-2} +2}
On a \dfrac{2}{3}\leq \int_{0}^{2} \dfrac{1}{e^{-x}+2} \ \mathrm dx\leq \dfrac{2}{e^{-2} +2}