Utiliser l'inégalité de la moyenne pour encadrer une intégrale Exercice

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[-1;2\right], f\left(x\right)= \ln\left(x^2+3\right) .

f est définie et continue sur cet intervalle car x^2+3 est strictement positif.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[-1;2\right], on a :

-1\leqslant x\leqslant 2

En passant au carré, on a :

0\leqslant x^2, x^2\leqslant1 et x^2\leqslant4

On a donc :

1\leqslant x^2 \leqslant 4

Ainsi,

3 \leqslant x^2+3 \leqslant 7

En passant au logarithme,

\ln\left(3\right) \leqslant \ln\left(x^2+3 \right)\leqslant \ln\left(7\right)

\ln\left(3\right) \leqslant f\left(x\right) \leqslant \ln\left(7\right)

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[-1;2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[-1;2\right], on a \ln\left(3\right) \leqslant f\left(x\right) \leqslant \ln\left(7\right). Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\ln\left(3\right)\left(2-\left(-1\right)\right)\leq \int_{-1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \ln\left(7\right)\left(2-\left(-1\right)\right)

3\ln\left(3\right)\leq \int_{-1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 3\ln\left(7\right) On a 3\ln\left(3\right)\leq \int_{−1}^{2} \ln\left(x^2+3\right) \ \mathrm dx\leq 3\ln\left(7\right)

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[-1;2\right], f\left(x\right)= \ln\left(x^2+3\right) .

f est définie et continue sur cet intervalle car x^2+3 est strictement positif.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[-1;2\right], on a :

-1\leqslant x\leqslant 2

En passant au carré, on a :

0\leqslant x^2, x^2\leqslant1 et x^2\leqslant4

On a donc :

0\leqslant x^2 \leqslant 4

Ainsi,

3 \leqslant x^2+3 \leqslant 7

En passant au logarithme,

\ln\left(3\right) \geqslant \ln\left(x^2+3 \right)\geqslant \\ln\left(7\right)

\ln\left(3\right) \geqslant f\left(x\right) \geqslant \ln\left(7\right)

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[-1;2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[-1;2\right], on a \ln\left(3\right) \leqslant f\left(x\right) \leqslant \ln\left(7\right). Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\ln\left(3\right)\left(2-\left(-1\right)\right)\leq \int_{-1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \ln\left(7\right)\left(2-\left(-1\right)\right)

3\ln\left(3\right)\leq \int_{-1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 3\ln\left(7\right) On a 3\ln\left(3\right)\leq \int_{−1}^{2} \ln\left(x^2+3\right) \ \mathrm dx\leq 3\ln\left(7\right)

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[-1;2\right], f\left(x\right)= \ln\left(x^2+3\right) .

f est définie et continue sur cet intervalle car x^2+3 est strictement positif.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[-1;2\right], on a :

-1\leqslant x\leqslant 2

En passant au carré, on a :

0\leqslant x^2, x^2\leqslant1 et x^2\leqslant4

On a donc :

0\leqslant x^2 \leqslant 4

Ainsi,

3 \leqslant x^2+3 \leqslant 7

En passant au logarithme,

\ln\left(3\right) \leqslant \ln\left(x^2+3 \right)\leqslant \ln\left(7\right)

\ln\left(3\right) \leqslant f\left(x\right) \leqslant \ln\left(7\right)

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b+a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b+a\right).

Ici, f est continue sur \left[-1;2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[-1;2\right], on a \ln\left(3\right) \leqslant f\left(x\right) \leqslant \ln\left(7\right). Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\ln\left(3\right)\left(2+\left(-1\right)\right)\leq \int_{-1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \ln\left(7\right)\left(2+\left(-1\right)\right)

3\ln\left(3\right)\leq \int_{-1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 3\ln\left(7\right) On a 3\ln\left(3\right)\leq \int_{−1}^{2} \ln\left(x^2+3\right) \ \mathrm dx\leq 3\ln\left(7\right)

On pose, pour tout x de l'intervalle \left[-1;2\right], f\left(x\right)= \ln\left(x^2+3\right) .

f est définie et continue sur cet intervalle car x^2+3 est strictement positif.

Or, pour tout x de l'intervalle \left[-1;2\right], on a :

-1\leqslant x\leqslant 2

En passant au carré, on a :

0\leqslant x^2, x^2\leqslant1 et x^2\leqslant4

On a donc :

0\leqslant x^2 \leqslant 4

Ainsi,

3 \leqslant x^2+3 \leqslant 7

En passant au logarithme,

\ln\left(3\right) \leqslant \ln\left(x^2+3 \right)\leqslant \ln\left(7\right)

\ln\left(3\right) \leqslant f\left(x\right) \leqslant \ln\left(7\right)

D'après l'inégalité de la moyenne, si une fonction f est continue sur \left[a;b\right] telle que pour tout réel x appartenant à \left[a;b\right], m\leq f\leq M, alors m\left(b-a\right)\leq \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right).

Ici, f est continue sur \left[-1;2\right] et pour tout réel x appartenant à \left[-1;2\right], on a \ln\left(3\right) \leqslant f\left(x\right) \leqslant \ln\left(7\right). Ainsi, on peut appliquer l'inégalité de la moyenne :

\ln\left(3\right)\left(2-\left(-1\right)\right)\leq \int_{-1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \ln\left(7\right)\left(2-\left(-1\right)\right)

3\ln\left(3\right)\leq \int_{-1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 3\ln\left(7\right) On a 3\ln\left(3\right)\leq \int_{−1}^{2} \ln\left(x^2+3\right) \ \mathrm dx\leq 3\ln\left(7\right)

\dfrac{1}{42}\leq\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq\dfrac{1}{3}

\dfrac{2}{3}\leq\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq\dfrac{10}{3}

0\leq\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq\dfrac{1}{63}

-1\leq\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 0{,}01

\dfrac{1}{2}\leq\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq1

\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}\leq\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq\sqrt{3}

\dfrac{\pi}{12\sqrt{2}}\leq\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq\dfrac{\sqrt{2}\pi}{12}

\dfrac{\pi}{6\sqrt{3}}\leq\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq\dfrac{\sqrt{3}\pi}{6}

0\leq\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{e}{3}

\dfrac{1}{2}\leq\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq e

1\leq\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq \dfrac{e}{2}

0\leq\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq e

\dfrac{1}{\sqrt{3}}\leq\int_{2}^{4} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq\dfrac{1}{\sqrt{15}}

\dfrac{1}{\sqrt{15}}\leq\int_{2}^{4} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq\dfrac{1}{\sqrt{3}}

\dfrac{1}{2\sqrt{15}}\leq\int_{2}^{4} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq\dfrac{1}{2\sqrt{3}}

\dfrac{2}{\sqrt{3}}\leq\int_{2}^{4} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq\dfrac{2}{\sqrt{15}}

5\ln\left(4\right) \leq\int_{ln2}^{ln6} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 9\ln\left(4\right)

5 \leq\int_{ln2}^{ln6} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 9

3\ln\left(5\right) \leq\int_{ln2}^{ln6} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 3\ln\left(9\right)

5\ln\left(3\right) \leq\int_{ln2}^{ln6} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 9\ln\left(3\right)