Afin de déterminer la valeur de \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx, on doit déterminer une primitive de la fonction f. Il ne reste ensuite qu'un calcul simple à effectuer.
Déterminer la valeur de l'intégrale suivante :
\int_{0}^{1} e^{-3x} \ \mathrm dx
Définir la fonction f
On appelle f la fonction définie sur l'intervalle formé par les bornes de l'intégrale et égal au contenu de l'intégrale à calculer.
On pose :
\forall x\in \left[ 0;1 \right], f\left( x \right)=e^{-3x}
Déterminer une primitive de f
On détermine une primitive de f sur l'intervalle formé par les bornes de l'intégrale en utilisant les méthodes classiques de recherche de primitives.
On détermine une primitive F de f sur \left[ 0;1 \right].
On pose :
- u\left( x \right)=-3x
- u est dérivable sur \left[ 0;1 \right] et pour tout réel x appartenant à \left[ 0;1 \right], u^{'}\left( x \right)=-3
On a :
f=-\dfrac{1}{3}u^{'}e^{u}
Une primitive de f sur \left[ 0;1 \right] est donc de la forme :
F=-\dfrac{1}{3}e^{u}
Finalement, la fonction suivante est une primitive de f sur \left[ 0;1 \right].
F:x\longmapsto-\dfrac{1}{3}e^{-3x}
Calculer l'intégrale
Si F est une primitive de f sur \left[ a;b \right], on a :
\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx = F\left( b \right)-F\left( a \right)
On effectue le calcul.
On a donc :
\int_{0}^{1} e^{-3x} \ \mathrm dx=F\left(1\right)-F\left(0\right)
\int_{0}^{1} e^{-3x} \ \mathrm dx=-\dfrac{1}{3}e^{-3\times1}-\left(-\dfrac{1}{3}e^{-3\times0} \right)
\int_{0}^{1} e^{-3x} \ \mathrm dx=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}e^{-3}