On peut calculer l'aire sous la courbe représentative d'une fonction f à l'aide d'un calcul d'intégrales.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f\left( x \right)=x^3
Dans un repère orthonormal où une unité d'aire représente 4 cm2, on trace la courbe représentative de la fonction f. Calculer l'aire de la zone hachurée.
Exprimer l'aire que l'on veut calculer
On détermine la fonction f et les réels a et b tels que l'aire à calculer soit celle de la surface comprise entre la courbe C_{f}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.
On cherche à déterminer l'aire de la surface comprise entre C_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-2 et x=1.
Déterminer le signe de f sur \left[ a;b \right]
On détermine le signe de f sur \left[ a;b \right]. On peut l'obtenir grâce à la position de C_f par rapport à l'axe des abscisses si la représentation graphique est donnée par l'énoncé.
La courbe est située :
- En dessous de l'axe des abscisses sur \left[ -2;0 \right]
- Au-dessus de l'axe des abscisses sur \left[ 0;1 \right]
Ainsi, f est négative sur \left[ -2;0 \right] et positive sur \left[ 0;1 \right].
Exprimer l'aire en fonction d'une intégrale
Trois cas se présentent :
- Si f est positive sur \left[ a;b \right], alors A=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx.
- Si f est négative sur \left[ a;b \right], alors A=-\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx.
- Si f change de signe sur \left[ a;b \right], on utilise la relation de Chasles pour obtenir plusieurs intégrales vérifiant l'un des deux premiers cas.
f étant négative sur \left[ -2;0 \right] et positive sur \left[ 0;1 \right], on a :
A=-\int_{-2}^{0} f\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
On remplace f par son expression :
A=-\int_{-2}^{0} x^3 \ \mathrm dx+\int_{0}^{1} x^3 \ \mathrm dx
Calculer les intégrales
On calcule la ou les intégrale(s) nécessaire(s). On peut alors conclure quant à la valeur de A. Cette valeur est exprimée en unités d'aire (u.a.).
Une primitive de x\longmapsto x^3 sur \mathbb{R} est x\longmapsto \dfrac{x^4}{4}.
On a donc :
A=-\left[ \dfrac{x^4}{4} \right]^0_{-2}+\left[ \dfrac{x^4}{4} \right]^1_{0}
A=-\left( \dfrac{0^4}{4}- \dfrac{\left( -2 \right)^4}{4}\right)+\left( \dfrac{1^4}{4} - \dfrac{0^4}{4} \right)
A=\dfrac{16}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{17}{4}
A vaut donc \dfrac{17}{4} u.a..
Donner l'aire dans l'unité demandée
Si l'énoncé le demande, on peut donner l'aire en centimètres carrés. Pour cela, grâce à l'échelle du graphique, on donne l'aire en centimètres carrés du carreau correspondant à une unité en abscisse et une unité en ordonnée. Si cette aire vaut n cm2, alors 1 u.a. vaut n cm2.
Ainsi, si A=k u.a., on a alors A=k\times n cm2.
Comme 1 u.a. vaut 4cm2, on a finalement :
A=\dfrac{17}{4}\times4=17 cm2