On lance un dé cubique truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On observe la face supérieure.
On suppose que la probabilité de sortie d'une face est toujours le double de celle de sortie de la face correspondant à l'entier juste inférieur.
Quelle est la probabilité de sortie de la face 1 ?
D'après l'énoncé, on sait que le dé cubique est truqué, on est donc dans une situation de non-équiprobabilité.
On note p_n, la probabilité de sortie d'une face, avec 1\leqslant n\leqslant 6.
D'après l'énoncé, on sait que la probabilité de sortie d'une face est toujours le double de celle de sortie de la face correspondant à l'entier juste inférieur.
On a donc pour tout entier n compris entre 1 et 6 :
p_{n+1}=2\times p_{n}
On remarque que \left(p_n\right)_{1\leqslant n\leqslant6} est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme p_1.
On en déduit d'après le cours une formule explicite.
Pour tout entier n compris entre 1 et 6, on a donc :
p_n=2^{n-1}\times p_1
De plus, d'après le cours la somme des probabilités des événements élémentaires vaut 1. Donc :
p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6=1
Donc :
p_1+2p_1+2^2p_1+2^3p_1+2^4p_1+2^5p_1=1
Donc :
p_1\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)=1
Donc :
p_1=\cfrac{1}{63}
La probabilité de sortie de la face 1 est donc de \cfrac{1}{63}.
Quel tableau correspond à la loi de probabilité de cette expérience aléatoire ?
D'après ce qui précède, on a montré que pour tout entier n compris entre 1 et 6 :
p_n=\cfrac{1}{63}\times2^{n-1}
La probabilité de sortie de la face 1 est : p_1=\cfrac{1}{63}.
La probabilité de sortie de la face 2 est : p_2=\cfrac{2}{63}.
La probabilité de sortie de la face 3 est : p_3=\cfrac{4}{63}.
La probabilité de sortie de la face 4 est : p_4=\cfrac{8}{63}.
La probabilité de sortie de la face 5 est : p_5=\cfrac{16}{63}.
La probabilité de sortie de la face 6 est : p_6=\cfrac{32}{63}.
On résume la loi de probabilité de cette expérience dans le tableau ci-dessous.
| Face du dé truqué | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité | \cfrac{1}{63} | \cfrac{2}{63} | \cfrac{4}{63} | \cfrac{8}{63} | \cfrac{16}{63} | \cfrac{32}{63} |