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  4. Méthode : Déterminer les composantes du vecteur accélération d'un système dans un repère mobile

Déterminer les composantes du vecteur accélération d'un système dans un repère mobile Méthode

Sommaire

1Rappeler les propriétés du repère mobile (ou repère de Frenet) 2Rappeler les expressions des composantes du vecteur accélération dans le repère mobile 3Faire le bilan des forces subies par le système 4Appliquer la deuxième loi de Newton 5En déduire les expressions des composantes du vecteur accélération

Lorsque le mouvement du système est circulaire, il est plus facile de le décrire dans un repère mobile. Les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération ont alors une expression particulière.

On étudie le mouvement de la Terre autour du Soleil dans le repère mobile \left(T, \overrightarrow{u_N}, \overrightarrow{u_T} \right) :

-

Déterminer les composantes du vecteur accélération de la Terre dans ce repère.

Etape 1

Rappeler les propriétés du repère mobile (ou repère de Frenet)

On rappelle les propriétés du repère mobile (ou repère de Frenet).

Le repère mobile (ou repère de Frenet), \left(M, \overrightarrow{u_N}, \overrightarrow{u_T} \right) est un repère utilisé dans les cas où le point mobile est en mouvement autour d'un point fixe. Il est défini à partir :

  • de son origine, située au niveau du point mobile M ;
  • d'un vecteur unitaire \overrightarrow{u_N} qui est perpendiculaire à la trajectoire du point mobile M et pointant vers le centre de la trajectoire circulaire ;
  • d'un vecteur unitaire \overrightarrow{u_T} qui est tangent à la trajectoire du point mobile M.
-
Etape 2

Rappeler les expressions des composantes du vecteur accélération dans le repère mobile

On rappelle les expressions des composantes du vecteur accélération dans le repère mobile en fonction de la vitesse.

Dans un repère mobile \left(M, \overrightarrow{u_N}, \overrightarrow{u_T} \right) les composantes du vecteur accélération \overrightarrow{a} du point mobile M sont liées à sa vitesse \overrightarrow{v} :

\overrightarrow{a} \begin{cases} a_T = \dfrac{dv}{dt} \cr \cr a_N = \dfrac{v²}{r}\end{cases}

La constante r est la distance qui sépare le point mobile et le point autour duquel il est en mouvement.

Etape 3

Faire le bilan des forces subies par le système

On fait le bilan des forces subies par le système et on indique leurs expressions vectorielles en utilisant les vecteurs unitaires du repère mobile (\overrightarrow{u_N} et \overrightarrow{U_T}).

Ici, la seule force subie par le système est l'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil sur la Terre, qui est colinéaire au vecteur unitaire \overrightarrow{u_{N}}.

Son expression vectorielle est donc :

\overrightarrow{F_{S/T}}= G\times \dfrac{M_S\times M_T}{r^2}\overrightarrow{u_{N}}

Etape 4

Appliquer la deuxième loi de Newton

On applique la deuxième loi de Newton afin de déterminer l'expression du vecteur accélération du système dans le repère mobile.

D'après la deuxième loi de Newton appliquée au système {Terre} :

M_T \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F_{S/T}}

Soit :

M_T \times \overrightarrow{a}= G\times \dfrac{M_S\times M_T}{r^2}\overrightarrow{u_{N}}

D'où l'expression du vecteur accélération de la Terre dans le repère mobile :

\overrightarrow{a}= G\times \dfrac{M_S}{r^2}\overrightarrow{u_{N}}

Etape 5

En déduire les expressions des composantes du vecteur accélération

On en déduit les expressions des composantes du vecteur accélération du système dans le repère mobile.

Puisque :

\overrightarrow{a}= G\times \dfrac{M_S}{r^2}\overrightarrow{u_{N}}

Les expressions des composantes du vecteur accélération sont donc :

\overrightarrow{a} \begin{cases} a_T = \dfrac{dv}{dt} =0\cr \cr a_N = \dfrac{v^2}{r}=G\times \dfrac{M_S}{r^2}\end{cases}

Voir aussi
  • Cours : La description du mouvement et la deuxième loi de Newton
  • Méthode : Déterminer les composantes du vecteur position initiale d'un système
  • Méthode : Déterminer les composantes du vecteur vitesse initiale d'un système
  • Méthode : Déterminer les composantes du vecteur vitesse d'un système par dérivation
  • Méthode : Déterminer les composantes du vecteur accélération d'un système par dérivation
  • Méthode : Représenter une force permettant à un système de rester en équilibre
  • Exercice : Justifier qualitativement la position du centre de masse d’un système
  • Exercice : Connaître les caractéristiques du vecteur vitesse dans un repère fixe
  • Exercice : Établir les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse à partir des coordonnées du vecteur position
  • Exercice : Tracer les vecteurs vitesse sur une chronophotographie
  • Exercice : Connaître les caractéristiques du vecteur accélération dans un repère fixe
  • Exercice : Établir les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération à partir des coordonnées du vecteur vitesse
  • Exercice : Établir les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération à partir des coordonnées du vecteur position
  • Exercice : Tracer les vecteurs accélération sur une chronophotographie
  • Exercice : Déduire la nature d'un mouvement à l'aide d'une chronophotographie
  • Exercice : Connaître les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération dans le repère de Frenet pour un mouvement circulaire
  • Exercice : Déterminer le rayon d'une trajectoire circulaire à l'aide de la vitesse et de l'accélération
  • Exercice : Déterminer le système adapté à l'étude d'un mouvement
  • Exercice : Connaître les caractéristiques des référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique
  • Exercice : Déterminer le référentiel adapté à l'étude d'un système
  • Exercice : Nommer la trajectoire d'un système à l'aide d'une chronophotographie
  • Exercice : Caractériser la perte d'information d'une réduction d'un système à un point
  • Exercice : Décrire un mouvement dans le référentiel terrestre
  • Exercice : Décrire un mouvement dans un référentiel donné
  • Problème : Comprendre l'influence du référentiel sur la description du mouvement d'un système donné
  • Exercice : Dresser un bilan des forces s'appliquant sur un système
  • Exercice : Reconnaître une situation dans laquelle les forces se compensent
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'un référentiel galiléen
  • Exercice : Discuter qualitativement du caractère galiléen d’un référentiel donné
  • Exercice : Connaître la deuxième loi de Newton
  • Exercice : Déterminer la somme des forces appliquées au système à l'aide de la deuxième loi de Newton
  • Exercice type bac : Atterrissage du premier étage d'une fusée, Amérique du Sud 2022

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