Que ce soit en économie, en sciences ou dans la vie quotidienne, les modèles mathématiques sont omniprésents. On différencie les phénomènes discrets et les phénomènes continus.
Lorsque les modèles utilisés génèrent des valeurs augmentant ou diminuant de façon constante, on parle de croissance linéaire.
Les suites numériques réelles
Lorsque le phénomène étudié génère des valeurs isolées les unes des autres, on parle de phénomène discret. On peut alors numéroter ces valeurs. On crée alors une suite numérique dont l'étude a été formalisée par les mathématiciens.
Suite numérique réelle
Une suite numérique réelle est une fonction u qui à tout entier naturel n (ou tout entier supérieur à un certain entier naturel n_0), associe un réel :
u : n \mapsto u(n)
La fonction qui à tout entier naturel n associe son double est une suite. On a alors :
u:n\longmapsto2n
Dans ce cas :
- u(0)=2\times0=0\\
- u(1)=2\times1=2
- u(2)=2\times2=4
- u(3)=2\times3=6
Terme d'indice n
Soit n un entier naturel. Le terme d'indice n d'une suite (u_n) est u_n.
On considère la suite u définie de la façon suivante :
Pour tout n \in \mathbb{N}, u_n = 2n
Dans ce cas :
- Le terme d'indice 1 est u(1)=2.
- Le terme d'indice 2 est u(2)=4.
- Une suite est notée u ou (u_n).
- Le terme d'indice n de la suite est noté u_n ou u(n).
Il ne faut pas confondre « terme » et « indice ».
Dans l'écriture u_5 = 25 :
- le terme vaut 25
- l'indice est 5
Il ne faut pas confondre u_{n+1} et u_n+1
u_{n+1} est le terme d'indice n+1, alors que u_n+1 est le terme de rang n augmenté de 1.
Soit (u_n) la suite définie par :
Pour tout n\in \mathbb{N}, u_n = n^2
Alors pour n=5 :
- u_{n+1} = u_6 = 36
- u_n+1 = u_5+1 = 25+1 = 26
On dit que (u_n) est la suite de terme général u_n.
Terme initial
Le terme initial d'une suite (u_n) est u_{n_0}, où n_0 est le premier entier tel que le terme de la suite existe.
On considère la suite (v_n) définie, pour tout entier supérieur à 4, par v_n=\sqrt{n-4}.
Le terme initial de la suite (v_n) est v_4=\sqrt{4-4}=0.
Suite croissante
Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n supérieur à un entier n_0. (u_n) est croissante si et seulement si :
Pour tout n \geqslant n_0 , u_n\leq u_{n+1}
Soit la suite u définie sur \mathbb{N} par :
\begin{cases} u_{0} = 0\\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N},u_{n+1} = u_n+2\end{cases}
On a :
Pour tout \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n=u_n+2-u_n=2
Ainsi :
\text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n\geqslant0
\text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1}\geqslant u_n
La suite (u_n) est croissante.
Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n supérieur à un entier n_0. (u_n) est strictement croissante si et seulement si :
\text{Pour tout } n \geqslant n_0 , u_n\lt u_{n+1}
Suite décroissante
Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n supérieur à un entier n_0. (u_n) est décroissante si et seulement si :
\text{Pour tout } n \geqslant n_0 , u_n\geq u_{n+1}
Soit la suite u définie sur \mathbb{N} par :
\begin{cases} u_{0} = 0\\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N},u_{n+1} = u_n-7\end{cases}
On a :
\text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n=u_n-7-u_n=-7
Ainsi :
\text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n\leqslant0
\text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1}\leqslant u_n
La suite (u_n) est décroissante.
Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n supérieur à un entier n_0. (u_n) est strictement décroissante si et seulement si :
\text{Pour tout } n \geqslant n_0 , u_n\gt u_{n+1}
Suite constante
Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n supérieur à un entier n_0. (u_n) est constante si et seulement si :
\text{Pour tout } n \geqslant n_0 , u_n= u_{n+1}
Soit une suite (u_n) définie sur \mathbb{N} par :
\begin{cases} u_{0} = 0\\\text{Pour tout } n \in \mathbb{N},u_{n+1} = u_n\end{cases}
(u_n) est constante car tous ses termes sont égaux.
Suite monotone
Une suite u est monotone lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante.
Les phénomènes discrets
Lors de l'étude de phénomènes discrets, l'outil mathématique des suites est très utile. Si l'évolution du phénomène est proportionnelle à la durée, on parle de croissance linéaire.
Définition des suites arithmétiques
Lors de l'étude d'un phénomène discret à croissance linéaire, les suites introduites sont dites arithmétiques. Elles possèdent des propriétés permettant une étude rapide du phénomène.
Suite arithmétique
Une suite \left( u_n\right) est dite arithmétique lorsqu'il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini, on a :
u_{n+1}=u_n+r
Le réel r est appelé la raison de la suite.
Soit (u_n) définie par :
\begin{cases}u_0=5\\\forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=u_n-2\end{cases}
(u_n) est une suite arithmétique de raison r=-2 .
Soit un livret avec un taux d'intérêt simple annuel de 5 %. On y place un capital de 100 €.
Tous les ans, les intérêts sont calculés sur ce capital de départ :
100\times \dfrac{5}{100}=5
En notant u_n le montant sur le livret au bout de n années. On a donc :
- u_0=100
- u_1=105
- u_2=110
- etc.
Plus généralement, pour tout n\in\mathbb{N} :
u_{n+1}=u_n+5
La suite (u_n) ainsi définie est donc une suite arithmétique de raison 5.
Si une suite \left( u_n\right) est arithmétique, la différence u_{n+1}-u_n entre deux termes consécutifs est constante et est égale à la raison r :
Pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n=r
Si \left( u_n\right) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous entiers naturels n et p tels que n\geqslant p :
u_n=u_p + (n-p)\times r
Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r=-6 telle que u_5 = 15. Alors :
Pour tout n \in \mathbb{N}, u_n=u_5 + (n-5)\times r = 15 + (n-5)\times (-6)
Soit \left( u_n\right) est une suite arithmétique de raison r, définie pour n\geq0. On obtient alors la définition explicite de \left( u_n\right) :
Pour tout n \in \mathbb{N} , u_n=u_0+nr
Soit (u_n) la suite arithmétique définie par :
\begin{cases} u_0=5 \cr \cr \text{Pour tout } n \in\mathbb{N}, u_{n+1}=u_n+2 \end{cases}
On peut alors écrire :
Pour tout n\in\mathbb{N}, u_n=u_0+nr
Pour tout n\in\mathbb{N}, u_n=5+2n
L'écriture explicite d'une suite arithmétique est du type u_n=f(n) où f est une fonction affine. Il n'y a que les suites arithmétiques qui vérifient cette propriété.
La représentation graphique des suites arithmétiques
Une suite (u_n) est représentée graphiquement par une succession de points de coordonnées (n, u_n) . Lorsque la suite est arithmétique, les points sont alignés.
Les points représentant une suite arithmétique sont alignés.
On considère la suite arithmétique (u_n) définie par :
\begin{cases}u_0=5\\\text{Pour tout }n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=u_n+2\end{cases}
Alors, pour tout n\in\mathbb{N}, on a :
u_n=5+2n=2n+5
Les points représentant la suite (u_n) ont donc pour coordonnées (n; 2n+5).
Ils appartiennent donc à la droite d'équation y=2x+5, représentée comme "f" sur le graphique.
Ils sont donc bien alignés.
Le sens de variation des suites arithmétiques
Une suite arithmétique est monotone. Elle est croissante si sa raison est positive, et décroissante si sa raison est négative.
Soit \left( u_n\right) une suite arithmétique de raison r. \left( u_n\right) est croissante si, et seulement si, r\geq 0.
Soit (u_n) la suite définie par :
\begin{cases} u_0=5 \cr \cr \text{Pour tout } n \in\mathbb{N}, u_{n+1}=u_n+2 \end{cases}
(u_n) est une suite arithmétique de raison r=2.
Comme r\geq0, alors (u_n) est croissante.
En remplaçant r\geq 0 par r>0 dans la propriété précédente, on obtient une suite strictement croissante.
Soit \left( u_n\right) une suite arithmétique de raison r. \left( u_n\right) est décroissante si, et seulement si, r\leq 0.
Soit (u_n) la suite définie par :
\begin{cases} u_0=4 \cr \cr \text{Pour tout } n \in\mathbb{N}, u_{n+1}=u_n-3 \end{cases}
(u_n) est une suite arithmétique de raison r=-3.
Comme r\leq0, alors (u_n) est décroissante.
En remplaçant r\leq 0 par r<0 dans la propriété précédente, on obtient une suite strictement décroissante.
Soit \left( u_n\right) une suite arithmétique de raison r. \left( u_n\right) est constante si, et seulement si, r= 0
Soit (u_n) la suite définie par :
\begin{cases} u_0=4 \cr \cr \text{Pour tout } n \in\mathbb{N}, u_{n+1}=u_n \end{cases}
(u_n) est une suite arithmétique de raison r=0.
(u_n) est constante.
La détermination de seuil
Une suite arithmétique non constante dépasse n'importe quel seuil si elle est croissante. À l'inverse, elle passe au-dessous de n'importe quel seuil si elle est décroissante.
Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r>0.
La suite (u_n) dépasse n'importe quel seuil A à partir d'un certain rang.
Soit (u_n) la suite arithmétique de premier terme u_0=5 et de raison r=3.
La suite (u_n) dépasse le seuil A=10\, 000 à partir d'un certain rang.
Pour déterminer le premier rang à partir duquel u_n>A, on résoud l'inéquation u_n>A.
On sait que, pour tout n\in\mathbb{N}, u_n=u_0+rn,
soit u_n=5+3n.
Soit n\in\mathbb{N}.
u_n>A\Leftrightarrow 5+3n>10\, 000
u_n>A\Leftrightarrow 3n>9\, 995
u_n>A\Leftrightarrow n>\frac{9\, 995}{3}
Or \frac{9\, 995}{3}\approx 3\, 331{,}7, donc
u_n>A\Leftrightarrow n\geq 3\, 332.
Le premier à partir duquel u_n>A est :
n_0=3\, 332.
Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r<0.
La suite (u_n) passe au-dessous de n'importe quel seuil A à partir d'un certain rang.
Soit (u_n) la suite arithmétique de premier terme u_0=10 et de raison r=-3.
La suite (u_n) dépasse le seuil A=-1\, 000 à partir d'un certain rang.
Pour déterminer le premier rang à partir duquel u_n<A, on résoud l'inéquation u_n<A.
On sait que, pour tout n\in\mathbb{N}, u_n=u_0+rn,
soit u_n=10-3n.
Soit n\in\mathbb{N}.
u_n<A\Leftrightarrow 10-3n<-1\, 000
u_n<A\Leftrightarrow -3n<-1\, 010
u_n<A\Leftrightarrow n>\frac{-1\, 010}{-3}
Or \frac{-1\, 010}{-3}\approx 336{,}7, donc
u_n<A\Leftrightarrow n\geq 337.
Le premier à partir duquel u_n<A est :
n_0=337.
Les phénomènes continus
Lors de l'étude de phénomènes continus, l'outil mathématique des fonctions est très utile. Si l'évolution du phénomène est proportionnelle à la durée, on parle à nouveau de croissance linéaire.
Définition des fonctions affines
Lors de l'étude d'un phénomène continu à croissance linéaire, les fonctions introduites sont dites affines. Comme les suites arithmétiques, elles possèdent des propriétés permettant une étude rapide du phénomène.
Fonction affine
Une fonction affine est une fonction définie sur \mathbb{R} admettant une expression du type :
f(x) = ax + b
où a et b sont des réels fixés.
Les fonctions f et g définies sur \mathbb{R} par f(x)=7x-3 et g(x)=(x+1)(x-1)-x^2 sont des fonctions affines.
La fonction f est bien définie sur \mathbb{R} et admet une expression du type ax+b avec a=7 et b=-3.
C'est donc bien une fonction affine.
La fonction g est bien définie sur \mathbb{R}.
De plus, pour tout réel x,
g(x)=x^2-1-x^2
g(x)=-1
La fonction g admet bien une expression du type ax+b avec a=0 et b=-1.
C'est donc bien une fonction affine.
La représentation graphique des fonctions affines
Une fonction f est représentée graphiquement par une succession de points de coordonnées (x, f(x)) . Lorsque la fonction est affine, les points sont alignés.
Soit f la fonction affine d'expression f(x)=ax+b où a et b sont des réels fixés.
La représentation graphique de la fonction f dans un repère du plan est la droite passant par les points de coordonnées
- (0;b)
- (1;a+b)
Soit f la fonction affine d'expression f(x)=-2x+3.
La représentation graphique de la fonction f dans un repère du plan est la droite passant par les points de coordonnées
- (0;3)
- 1;-2+3, soit (1;1)
Équation réduite d'une droite
Soit f la fonction affine d'expression f(x)=ax+b où a et b sont des réels fixés.
La droite représentation f dans un repère du plan est dite d'équation y=ax+b.
On appelle une telle équation l'équation réduite de la droite.
La représentation graphique de la fonction affine f:x\mapsto -5x+10 est la droite d'équation réduite y=-5x+10.
Coefficient directeur
Soit f la fonction affine d'expression f(x)=ax+b où a et b sont des réels fixés et soit \mathcal{D} sa représentation graphique dans un repère du plan.
Le nombre a est appelé coefficient directeur de la droite \mathcal{D}.
Soit f la fonction affine d'expression f(x)=-7x+12 et soit \mathcal{D} sa représentation graphique dans un repère du plan.
Le coefficient directeur de la droite \mathcal{D} est -7.
Ordonnée à l'origine
Soit f la fonction affine d'expression f(x)=ax+b où a et b sont des réels fixés et soit \mathcal{D} sa représentation graphique dans un repère du plan.
Le nombre b est appelé ordonnée à l'origine de la droite \mathcal{D}.
Soit f la fonction affine d'expression f(x)=-7x+12 et soit \mathcal{D} sa représentation graphique dans un repère du plan.
L'ordonnée à l'origine de la droite \mathcal{D} est 12.
L'ordonnée à l'origine d'une droite représentant une fonction affine est l'ordonnée du point de la droite ayant pour abscisse 0, soit le point de la droite "au-dessus" ou "au-dessous" de l'origine du repère.
Soit f la fonction affine d'expression f(x)=-7x+12 et soit \mathcal{D} sa représentation graphique dans un repère du plan.
L'ordonnée à l'origine de la droite \mathcal{D} est 12 et le point de la droite \mathcal{D} ayant pour abscisse a bien pour ordonnée 12,
car f(0)=-7\times 0+12=12.
Le sens de variation des fonctions affines
Comme les suites arithmétiques, les fonctions affines sont monotones.
Une fonction affine f : x \mapsto ax+b est :
- strictement croissante sur \mathbb{R} si et seulement si a >0 ;
- strictement décroissante sur \mathbb{R} si et seulement si a <0 ;
- constante sur \mathbb{R} si et seulement si a=0.
Soit f la fonction affine d'expression f(x)=-2x+3.
La fonction f admet une expression de la forme ax+b avec a=-2.
Comme a<0, la fonction f est strictement décroissante.
Plus le coefficient directeur est élevé, plus l'inclinaison de la droite sera forte.
Soit f, g et h les fonctions affines d'expressions
f(x)=-2x+3
g(x)=x
h(x)=3x-1
On note \mathcal{D}_1, \mathcal{D}_2 et \mathcal{D}_3 les représentations graphiques respectives des fonctions f, g et h dans un même repère du plan.
En notant a_1, a_2 et a_3 les coefficients directeurs respectifs des droites \mathcal{D}_1, \mathcal{D}_2 et \mathcal{D}_3, on a :
a_1<a_2<a_3
Ainsi l'inclinaison des droites \mathcal{D}_1, \mathcal{D}_2 et \mathcal{D}_3 est de plus en plus forte.
La détermination de seuil
Une fonction affine non constante dépasse n'importe quel seuil si elle est croissante et passe au-dessous de n'importe quel seuil si elle est décroissante.
Soit f:x\mapsto ax+b une fonction affine strictement croissante.
Alors f(x) dépasse n'importe quel seuil A pour x assez grand.
Soit f la fonction affine d'expression f(x)=2x-7 pour tout réel x.
f(x) dépasse le seuil A=10\, 000 pour x assez grand.
Pour déterminer à partir de quelle valeur de x, f(x) dépasse le seuil A, on résoud l'inéquation f(x)>A.
Ici on a :
f(x)>A\Leftrightarrow 2x-7>10\, 000
f(x)>A\Leftrightarrow 2x>10\, 007
f(x)>A\Leftrightarrow x>\frac{10\, 007}{2}
f(x)>A\Leftrightarrow x>5\, 003{,}5
Ainsi f(x)>10\, 000 dès que x>5\, 003{,}5.
Soit f:x\mapsto ax+b une fonction affine strictement décroissante.
Alors f(x) est au-dessous de n'importe quel seuil A pour x assez grand.
Soit f la fonction affine d'expression f(x)=-5x-7 pour tout réel x.
f(x) est au-dessous du seuil A=-1\, 000 pour x assez grand.
Pour déterminer à partir de quelle valeur de x, f(x) est au-dessous du seuil A, on résoud l'inéquation f(x)<A.
Ici on a :
f(x)<A\Leftrightarrow -5x-7<-1\, 000
f(x)<A\Leftrightarrow -5x<-1\, 007
f(x)<A\Leftrightarrow x>\frac{-1\, 007}{-5}
f(x)<A\Leftrightarrow x>201{,}4
Ainsi f(x)<-1\, 000 dès que x>201{,}4.
Situations et problèmes liés
De nombreux phénomènes étudiés en économie, en sciences ou de la vie courante ont une croissance linéaire. On peut donc les modéliser avec des suites arithmétiques ou des fonctions affines.
Une somme d'argent placée sur un compte rémunéré avec des intérêts simples calculés mensuellement est un phénomène discret qui suit une croissance linéaire.
Pierre place 50\, 000 € sur un produit dont la rémunération est fixée à 3 % par an avec intérêts simples.
Dans ce cas, si on n'ajoute pas et ne retranche pas d'argent sur ce produit financier, chaque année, Pierre gagnera 3% des 50\, 000 € déposés initialement.
50\, 000\times \frac{3}{100}=1\, 500
Chaque année ce produit rapportera à Pierre 1\, 500 €.
Si on note (u_n) la somme de Pierre sur ce produit, on a :
\begin{cases}u_0=50\,000\\u_{n+1}=u_n+1\,500\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
La suite (u_n) est une suite arithmétique de raison r=1\, 500.
En physique, la pression de d'eau exercée sur un plongeur en fonction de la profondeur atteinte est un phénomène continu qui suit une croissance linéaire.
La pression exercée sur un plongeur augmente de 1 bar tous les 10 m, soit 0,1 bar tous les 1 m.
Avec une pression atmosphérique de 1 bar à la surface de l'eau, la pression exercée sur un plongeur en fonction de la profondeur atteinte est un phénomène continu à croissance linéaire.
On peut la modéliser par la fonction affine suivante :
f:x\mapsto 1+x\times 0{,}1 où x est la profondeur en mètres sous la surface de l'eau.
soit
f:x\mapsto 1+0{,}1x
ou
f:x\mapsto 0{,}1x+1.
Dans son rapport AR5 de 2013 le GIEC indique une élévation du niveau de la mer d'environ 1,7 mm par an pour la période 1948-2002, sur la base des données de 177 stations.
En considérant correcte cette valeur pour déterminer le niveau de la mer dans les années après 2002, on peut modéliser le niveau de la mer comme un phénomène continu à croissance linéaire.
En considérant le niveau moyen de la mer en 1948 comme le niveau de référence, l'élévation du niveau moyen de la mer en mm par rapport au niveau de 1948 en fonction du nombre d'années n après 1948 peut être modélisé par la suite arithmétique suivante :
\begin{cases}u_0=0\\u_{n+1}=u_n+1{,}7\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Ainsi, l'élévation du niveau moyen de la mer en mm par rapport à celui de 1948 peut être modélisé par la suite (u_n) définie par :
u_n=0+1{,}7n pour tout n\in\mathbb{N}
soit
u_n=1{,}7n pour tout n\in\mathbb{N}.