Soit la suite arithmétique (u_n) définie par :
\begin{cases} u_0=3 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n+4 \end{cases}
On souhaite écrire un algorithme en Python qui, pour n donné, renvoie la valeur de u_n.
Quels sont les deux premiers termes de la suite (u_n) ?
La suite (u_n) est définie par :
\begin{cases} u_0=3 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n+4 \end{cases}
On connaît directement le premier terme de (u_n) :
u_0=3
De plus, on sait que :
u_1=u_0+4
Donc :
u_1=3+4 =7
Les deux premiers termes de la suite (u_n) sont donc : u_0 = 3 et u_1=7.
Quelle est la raison r de la suite arithmétique (u_n) ?
La suite (u_n) est définie par :
\begin{cases} u_0=3 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n+4 \end{cases}
Une suite arithmétique est une suite qui, pour tout entier n, vérifie u_{n+1}= u_n + r.
Or, d'après la définition de la suite (u_n) :
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n+4
Donc pour tout entier n, la suite (u_n) vérifie u_{n+1}= u_n + r avec r=4.
La raison de la suite (u_n) est donc r=4.
Quelle est la formule explicite des termes de la suite (u_n) ?
La suite (u_n) est la suite arithmétique de premier terme u_0 = 3 et de raison r=4.
Or, on sait qu'une suite arithmétique (u_n) de premier terme terme u_0 et de raison r a pour formule explicite :
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} = nr +u_0
Donc :
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} = 4n +3
La suite (u_n) a donc pour formule explicite :
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} = 4n +3
Quelle est la fonction écrite en Python qui à n associe u_n ?
Chaque terme de la suite (u_n) est défini de manière explicite par la formule suivante :
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} = 4n +3
Il faut donc définir une fonction qui prend comme argument n et qui renvoie 4\times n +3.
De plus, il faut vérifier que n est bien un entier positif, sinon il faut préciser à l'utilisateur que la fonction n'est valide que pour les entiers positifs.
L'algorithme écrit en Python qui définit une fonction qui à n associe le terme u_n est le suivant :
def u(n):
if (type(n)==int) and (n>=0):
return 4*n+3
else :
print("n doit être un entier positif")