Dans chacun des cas suivants, déterminer si la suite (u_n) est arithmétique.
Deux villageois veulent creuser un puits pour atteindre une source d'eau douce située à 200 m de profondeur. Le premier jour, ils creusent 2 m, puis 2,20 m le deuxième jour, puis 2,40 m le troisième jour et 20 cm de plus chaque jour.
On note u_n la profondeur atteinte par les deux villageois le n-ième jour.
La suite (u_n) est arithmétique si et seulement si il existe un réel r tel que :
\forall n \in \mathbb{N} , u_{n+1}=u_n+r
En d'autres termes, une suite est arithmétique si et seulement si l'on ajoute le même nombre réel à chaque terme pour construire le suivant.
Ici, u_n est la profondeur du trou le jour n. Chaque jour, les deux villageois creusent 20 cm de plus, donc on a :
\forall n \in \mathbb{N} , u_{n+1}=u_n+0{,}20
(u_n) est donc arithmétique.
Une jeune fille vient d'ouvrir un compte bancaire. Dès l'ouverture, elle y place un montant de 1 000 €. Chaque année, elle perçoit son taux d'intérêt s'élevant à 1 %.
On note u_n l'argent présent sur son compte la n-ième année.
La suite (u_n) est arithmétique si et seulement si il existe un réel r tel que :
\forall n \in \mathbb{N} , u_{n+1}=u_n+r
En d'autres termes, une suite est arithmétique si et seulement si l'on ajoute le même nombre réel à chaque terme pour construire le suivant.
Ici, u_n est la quantité d'argent disponible sur le compte de la jeune fille l'année n. Chaque année, la jeune fille perçoit 1 % d'intérêt, c'est à dire que le montant de son compte est multiplié par 1,01. Elle touche donc 10 € la première année, puis 10,1 € la deuxième année, puis 10,201 € la troisième, etc.
\forall n \in \mathbb{N} , u_{n+1}=u_n\times 1{,}01
(u_n) n'est donc pas arithmétique.
Un artisan cordonnier fabrique 100 paires de chaussures par semaine. Grâce à sa boutique ouverte du lundi au samedi, il vend 15 paires de chaussures par jour et garde ses paires invendues dans un entrepôt.
On note u_n le nombre de paires de chaussures présentes dans l'entrepôt la n-ième semaine.
La suite (u_n) est arithmétique si et seulement si il existe un réel r tel que :
\forall n \in \mathbb{N} , u_{n+1}=u_n+r
En d'autres termes, une suite est arithmétique si et seulement si l'on ajoute le même nombre réel à chaque terme pour construire le suivant.
Ici, u_n est la quantité de paires de chaussures présentes dans l'entrepôt la semaine n. Chaque semaine, il en fabrique 100, et en vend 15 par jour du lundi au samedi. Il lui reste donc 100-6\times 15=10 paires invendues chaque semaine qu'il stocke dans l'entrepôt. Le nombre de paires de chaussures présentes dans l'entrepôt augmente donc de 10 unités chaque semaine.
\forall n \in \mathbb{N} , u_{n+1}=u_n+10
(u_n) est donc arithmétique.
Une entreprise de panneaux photovoltaïques fait son apparition en l'an 2000. Pendant cette année, elle se déploie sur le territoire et construit 1 000 panneaux partout en France. Grâce aux bénéfices que dégagent ses panneaux, elle peut en construire 100 de plus en 2001. Mais à cause de l'entrée en jeu d'un concurrent, elle ne parvient pas à dégager plus de bénéfices les années d'après et ne parvient à construire que 100 panneaux supplémentaires chaque année.
Pour n\in\mathbb{N}_{\geqslant 2000}, on note u_n le nombre total de panneaux photovoltaïques construits par cette entreprise l'année n.
La suite (u_n) est arithmétique si et seulement si il existe un réel r tel que :
\forall n \in \mathbb{N}_{\geqslant2000} , u_{n+1}=u_n+r
En d'autres termes, une suite est arithmétique si et seulement si l'on ajoute le même nombre réel à chaque terme pour construire le suivant.
Ici, u_n est la quantité totale de panneaux construits par l'entreprise. On sait qu'elle construit chaque année 100 panneaux de plus que l'année précédente.
\forall n \in \mathbb{N}_{\geqslant2000} , u_{n+1}=u_n+100
(u_n) est donc arithmétique.
Dans un monde post-apocalyptique, un jeune homme vient de tomber sur le dernier morceau de parmesan présent sur la planète. Comme il sait qu'il n'en trouvera plus jamais d'autres, il décide de conserver ces 500 g de fromage dans son réfrigérateur. Pour pouvoir en manger tous les jours sans jamais le finir, il décide alors de manger chaque jour la moitié de ce qu'il lui reste.
On note u_n le poids du morceau de parmesan qu'il reste à la fin du jour n.
La suite (u_n) est arithmétique si et seulement si il existe un réel r tel que :
\forall n \in \mathbb{N} , u_{n+1}=u_n+r
En d'autres termes, une suite est arithmétique si et seulement si l'on ajoute le même nombre réel à chaque terme pour construire le suivant.
Ici, u_n est le poids du morceau de parmesan à la fin du jour n. Comme le jeune homme mange la moitié du morceau chaque jour, cela signifie que chaque soir, il reste la moitié de ce qu'il restait la veille.
\forall n \in \mathbb{N} , u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2}
(u_n) n'est donc pas arithmétique.