Sommaire
ILes multiples et les diviseursALa définition des multiples et des diviseursBLes critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10IILes nombres premiersIIILa décomposition d'un entier en produit de facteurs premiersIVLes applications aux fractions de la décomposition des entiersALa simplification des fractionsBLes fractions égalesLes multiples et les diviseurs
Les multiples sont liés aux tables de multiplication et les diviseurs sont liés à la division euclidienne. Des critères de divisibilité permettent de savoir quels sont les diviseurs d'un nombre.
La définition des multiples et des diviseurs
Les multiples d'un entier a sont les nombres apparaissant dans la table de multiplication du nombre a. Les diviseurs de a sont les entiers naturels qui, lorsqu'ils divisent a, donnent un reste nul.
Multiples
Soit un entier naturel a.
Les multiples de a sont les nombres du type n\times a où n est un entier naturel, c'est-à-dire 0\times a, 1\times a, 2\times a, 3\times a, etc.
Les multiples du nombre entier 5 sont 0\times 5, 1\times 5, 2\times 5, 3\times 5, 4\times 5, etc., c'est-à-dire 0, 5, 10, 15, 20, etc.
Les multiples d'un entier a sont les nombres apparaissant dans la table de multiplication du nombre a.
Les multiples de 9 sont les nombres de la table de multiplication de 9, c'est-à-dire 0, 9, 18, 27, 36, 45, etc.
Diviseurs
Soit un entier naturel a.
Les diviseurs de a sont les entiers naturels b pour lesquels la division euclidienne de a par b donne un reste nul.
Ils sont nécessairement inférieurs ou égaux à a.
Les diviseurs du nombre 30 sont les entiers b pour lesquels la division euclidienne de 30 par b admet un reste nul, ou « tombe juste ». Les diviseurs de 30 sont nécessairement inférieurs ou égaux à 30.
Les divisions euclidiennes dont le dividende est 30 et qui donnent un reste nul sont :
- 30\div 1 = 30 ;
- 30\div 2= 15 ;
- 30\div 3 = 10 ;
- 30\div 5 = 6 ;
- 30\div 6 = 5 ;
- 30\div 10 = 3 ;
- 30\div 15 = 2 ;
- 30\div 30 = 1.
Les diviseurs de 30 sont donc les nombres 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30.
Les diviseurs du nombre 13 sont les entiers b pour lesquels la division euclidienne de 13 par b admet un reste nul, ou « tombe juste ».
Les diviseurs de 13 sont nécessairement inférieurs ou égaux à 13.
Les divisions euclidiennes dont le dividende est 13 et qui donnent un reste nul sont :
- 13\div 1 = 13 ;
- 13\div 13= 1.
Aucune autre division ne donne un reste nul.
Les diviseurs de 13 sont donc les nombres 1 et 13.
Soient deux entiers naturels a et b.
Si a est un diviseur de b, alors b est un multiple de a.
Inversement, si b est un multiple de a, alors a est un diviseur de b.
- 4 est un diviseur de 312 car 312\div 4=78.
- 312 est un multiple de 4 car 4\times 78=312.
- 60 est un multiple de 12 car 12\times 5=60.
- 12 est un diviseur de 60 car 60\div 12=5.
Les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10
Les critères de divisibilité permettent de connaître les diviseurs d'un nombre et donc de savoir de quels nombres il est le multiple.
Soit un entier naturel a.
Le nombre a est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Le nombre 128 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 8.
Soit un entier naturel a, le nombre a est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Le nombre 126 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est 1+2+6=9, et 9 est divisible par 3.
Soit un entier naturel a, le nombre a est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Le nombre 175 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5.
Soit un entier naturel a, le nombre a est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Le nombre 126 est divisible par 9 car la somme de ses chiffres est 1+2+6=9, et 9 est divisible par 9.
Soit un entier naturel a, le nombre a est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
Le nombre 3 100 est divisible par 10 car son chiffre des unités est 0. Il est également divisible par 2 et par 5.
Les nombres premiers
Un nombre premier n'a que deux diviseurs : lui-même et 1.
Nombre premier
Soit un entier naturel a supérieur ou égal à 2.
On dit que a est un nombre premier si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
On sait que les diviseurs du nombre 30 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30, et que les diviseurs du nombre 13 sont 1 et 13.
Le nombre 30 n'est donc pas un nombre premier.
Le nombre 13 est un nombre premier.
Les nombres 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers.
- 0 admet tous les entiers non nuls comme diviseurs.
- 1 admet 1 et lui-même comme diviseurs, mais cela ne représente qu'un seul diviseur.
Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 30 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.
Le nombre 29 est un nombre premier inférieur ou égal à 30.
Il admet comme seuls diviseurs 1 et lui-même.
La décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers
On peut toujours décomposer un entier en un produit de facteurs premiers. Il n'y a qu'une seule façon d'écrire un entier naturel comme le produit de nombres premiers.
Tout entier naturel peut s'écrire comme le produit de nombres premiers.
À l'ordre des facteurs près, il n'y a qu'une façon d'écrire un entier naturel comme le produit de nombres premiers.
Le nombre 30 peut s'écrire 2\times 3\times 5.
Comme 2, 3 et 5 sont des nombres premiers, on a écrit 30 comme un produit de nombres premiers.
Décomposition en produit de facteurs premiers
L'écriture d'un entier naturel a comme le produit de nombres premiers s'appelle la décomposition en produit de facteurs premiers de l'entier a.
2\times 3\times 5\times 7 est la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 210.
On écrit en général la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers dans l'ordre croissant des nombres premiers qui la composent.
2\times 7\times 5\times 3 est une décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 210, mais on l'écrit généralement sous la forme « 2\times 3\times 5\times 7 ».
Les applications aux fractions de la décomposition des entiers
La décomposition en produit de facteurs premiers des entiers est utilisée pour simplifier des fractions ou pour reconnaître et produire des fractions égales.
La simplification des fractions
Grâce à la décomposition des entiers en produit de facteurs premiers, on peut simplifier une fraction, c'est-à-dire la remplacer par une fraction égale ayant un numérateur et un dénominateur strictement inférieurs à ceux de la fraction d'origine.
Simplifier une fraction
Soit \dfrac{a}{b} une fraction.
On dit que l'on simplifie la fraction \dfrac{a}{b} si on la remplace par une fraction égale qui possède un numérateur strictement inférieur à a et un dénominateur strictement inférieur à b.
On peut simplifier la fraction \dfrac{20}{30} en la remplaçant par la fraction \dfrac{2}{3} qui lui est égale.
Pour simplifier une fraction \dfrac{a}{b} on utilise la propriété :
\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\div c}{b\div c} avec c\neq 0.
\dfrac{20}{30}=\dfrac{20\div 10}{30\div 10} donc \dfrac{20}{30}=\dfrac{2}{3}
Décomposer en produit de facteurs premiers le numérateur et le dénominateur d'une fraction permet d'obtenir directement une fraction simplifiée au maximum.
On simplifie par la partie commune des deux décompositions.
Les décompositions en produit de facteurs premiers des nombres 32 et 60 sont :
32=2\times 2\times 2\times 2\times 2
60=2\times 2\times 3\times 5
Les deux décompositions ont en commun 2\times 2.
On peut donc simplifier la fraction \dfrac{60}{32} par 2\times 2, c'est-à-dire par 4.
On obtient :
\dfrac{60}{32}=\dfrac{2\times 2\times 3\times 5}{2\times 2\times 2\times 2\times 2}
On simplifie par 2\times 2 :
\dfrac{60}{32}=\dfrac{3\times 5}{2\times 2\times 2}
\dfrac{60}{32}=\dfrac{15}{8}
On ne peut pas simplifier davantage la fraction \dfrac{60}{32}.
Les fractions égales
La décomposition des entiers en produit de facteurs premiers permet également de reconnaître ou de produire des fractions égales, c'est-à-dire deux mêmes fractions après simplification maximale.
Deux fractions sont égales si après simplification maximale on obtient la même fraction.
On sait qu'en décomposant 60 et 32 en produit de facteurs premiers, on obtient :
\dfrac{60}{32}=\dfrac{2\times 2\times 3\times 5}{2\times 2\times 2\times 2\times 2}
On peut simplifier au maximum par 2\times 2.
La fraction simplifiée au maximum égale à \dfrac{60}{32} est \dfrac{15}{8}.
En faisant de même avec la fraction \dfrac{900}{480}, on obtient :
\dfrac{900}{480}=\dfrac{2\times 2\times 3\times 3\times 5\times 5}{2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 5}
On peut simplifier au maximum par 2\times 2\times 3\times 5.
On obtient :
\dfrac{900}{480}=\dfrac{15}{8}, c'est-à-dire la même fraction simplifiée au maximum que celle égale à \dfrac{60}{32}.
Ainsi :
\dfrac{900}{480}=\dfrac{15}{8}
Après avoir simplifié au maximum une fraction \dfrac{a}{b}, on peut multiplier à nouveau le numérateur et le dénominateur de cette fraction par un entier non nul et obtenir des fractions égales à la fraction \dfrac{a}{b}.
On a vu qu'après simplification maximale, la fraction égale à \dfrac{60}{32} est \dfrac{15}{8}.
En multipliant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 13, par exemple, on obtient :
\dfrac{15\times 13}{8\times 13}, soit \dfrac{195}{104}.
Ainsi :
\dfrac{60}{32}=\dfrac{195}{104}