Etude globale d'une suite
Définition
Suite numérique
Une suite numérique est une fonction de \mathbb{N} dans \mathbb{R}.
La fonction définie pour tout entier naturel n par u\left(n\right) = 2n+1 est une suite.
- Pour désigner la suite u , on peut écrire \left(u_{n}\right) .
- L'écriture u_{n} désigne en revanche le terme de rang n de la suite u, c'est-à-dire u\left(n\right).
- Une suite u peut n'être définie qu'à partir d'un certain rang n_0. Dans ce cas, on écrit \left(u_{n}\right)_{n\geqslant n_0} pour désigner la suite u.
Modes de génération d'une suite
Il existe trois façons de définir une suite.
1. Définition explicite
La suite \left(u_{n}\right) est définie directement par son terme général :
u_{n} = f\left(n\right)
2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur \mathbb{R} et un réel f, une suite \left(u_{n}\right) peut être définie par récurrence grâce à son premier terme et une relation de récurrence valable pour tout entier n :
\begin{cases}u_{0} = a \cr \cr u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)\end{cases}
3. Définition implicite
La suite \left(u_{n}\right) est définie par une propriété géométrique, économique, etc. au sein d'un problème.
Quel que soit le mode de génération d'une suite, il se peut qu'elle ne soit définie qu'à partir d'un certain rang n_0.
Le sens de variation
Suite croissante
La suite \left(u_{n}\right) est croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n+1} \geq u_{n}
Considérons la suite \left(u_n \right) définie pour tout entier naturel n, par récurrence, par u_0=12 et, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}=\left( u_n \right)^2+u_n
On en déduit que, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}-u_n=\left( u_n \right)^2.
Or \left(u_n \right)^2\geq0. Donc, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}-u_n\geq0
Ainsi, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}\geqslant u_n
Donc la suite \left(u_n \right) est croissante.
Suite strictement croissante
La suite \left(u_{n}\right) est strictement croissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n+1} \gt u_{n}
Suite décroissante
La suite \left(u_{n}\right) est décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n+1} \leq u_{n}
Considérons la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N}^*, u_n=\dfrac1n
On a, pour tout entier naturel n non nul :
u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac1n=\dfrac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}.
Pour tout entier naturel n non nul, le rapport \dfrac{-1}{n\left(n+1\right)} est négatif, donc : u_{n+1}-u_n\leq0
Ainsi, pour tout entier naturel n non nul:
u_{n+1}\leq u_n
Par conséquent la suite \left( u_n\right) est décroissante.
Suite strictement décroissante
La suite \left(u_{n}\right) est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n+1} \lt u_{n}
Suite constante
La suite \left(u_{n}\right) est constante si, et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :
u_{n+1} = u_{n}
Suite monotone
La suite \left(u_{n}\right) est monotone si, et seulement si, elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens).
Représentation graphique
Représentation graphique d'une suite
Dans un repère du plan, la représentation graphique d'une suite u est l'ensemble des points de coordonnées \left( n;u_n \right), où n décrit les entiers naturels pour lesquels u_n est défini.
On considère la suite \left( u_n \right) définie pour tout entier naturel n par u_n=n^2-1. On a le tableau des premiers termes suivant :
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| u_n | -1 | 0 | 3 | 8 | 15 |
On obtient les premiers points de la représentation graphique ci-dessous :
Les suites particulières
Les suites arithmétiques
Suite arithmétique
Une suite \left(u_{n}\right) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :
u_{n+1} = u_{n} + r
On considère la suite définie par son premier terme u_0=1 et par pour tout entier naturel n :
u_{n+1} = u_{n} - 2
On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant -2.
\left(u_n\right) est donc une suite arithmétique.
Raison
Le réel r est appelé raison de la suite.
Dans l'exemple précédent, la suite est une suite arithmétique de raison -2.
Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison r.
- si r\gt0, la suite est strictement croissante
- si r\lt0, la suite est strictement décroissante
- si r=0, la suite est constante
Terme général d'une suite arithmétique
Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p. Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :
u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r
En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :
u_{n} = u_{0} + nr
Soit u une suite arithmétique de raison r=-2 et de premier terme u_0=3.
Pour tout entier naturel n, on a : u_n=3-2n
Soit u une suite arithmétique. Les points de sa représentation graphique sont alignés.
Considérons la suite arithmétique u de raison r=0{,}5 et de premier terme u_0=-2. Voici les premiers points de sa représentation graphique :
Si u est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u_0, alors les points de sa représentation graphique appartiennent à la droite d'équation y=rx+u_0.
Les suites géométriques
Suite géométrique
Une suite \left(u_{n}\right) est géométrique s'il existe un réel q tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :
u_{n+1} = u_{n} \times q
On considère la suite définie par son premier terme u_0=1 et pour tout entier naturel n par :
u_{n+1} = 3u_{n}
On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.
Cette suite est donc une suite géométrique.
Raison
Le réel q est appelé raison de la suite.
Dans l'exemple précédent, la suite est géométrique de raison 3.
Soit q un réel strictement positif.
- si q\gt1, la suite \left( q^n \right) est strictement croissante.
- si q\lt1, la suite \left( q^n \right) est strictement décroissante.
- si q=1, la suite \left( q^n \right) est constante.
On parle de croissance (ou de décroissance) exponentielle dans le cas d'une suite géométrique.
Terme général d'une suite géométrique
Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p. Pour tout entier n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :
u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}
En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :
u_{n} = u_{0} \times q^{n}
On considère suite géométrique de raison q=2 et de premier terme u_0=3.
Pour tout entier naturel n, on a : u_n=3\times2^n
Soit u une suite géométrique de raison q\neq1. Les points de sa représentation graphique ne sont pas alignés.
Considérons la suite géométrique de raison q=5 et de premier terme u_0=0{,}1. Voici les premiers points de sa représentation graphique :
