On place un capital de 10 000€ au 1er janvier 2016 sur un compte rémunéré à 1,25% (taux annuel d'intérêt composés).
On suppose qu'on n'ajoute pas d'argent sur ce compte et que le taux d'intérêt reste fixe.
On note u_n le capital, en euros, sur le compte au 1er janvier de l'année 2016+n.
On arrondira, si nécessaire, les résultats au centième.
Quelles sont les valeurs de u_0 et u_1 ?
u_0=10\, 000
u_1=10\, 000\times \left(1+\dfrac{1{,}25}{100}\right)
u_1=10\, 000\times1{,}0125
u_1=10\, 125
u_0=10\, 000 et u_1=10\, 125
Quelle est l'expression de u_{n+1} en fonction de u_n ?
Augmenter de 1,25% revient à multiplier par 1,0125.
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1}=1{,}0125\times u_n
Quelle est l'expression de u_n en fonction de n ?
D'après le résultat précédent, on a, pour tout entier naturel n :
u_{n+1}=qu_n avec q=1{,}0125
La suite \left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est donc géométrique de raison q=1{,}0125.
Par conséquent, pour tout entier naturel n :
u_n=u_0\times q^n
u_n=10\, 000\times 1{,}0125^n
Quel est le capital sur le compte au 1er janvier 2025 ?
Le capital sur le compte au 1er janvier 2025 correspond à u_{9}.
Or :
u_9=10\, 000\times 1{,}0125^9
u_9\approx 11\, 182{,}92
Le capital sur le compte au 1er janvier 2025 sera de 11 182,92€.
Avec ce taux d'intérêt, à partir de quelle année le capital dépasserait-il 20 000€ ?
u_{55}=10\, 000\times 1{,}0125^{55}\approx 19\, 802{,}81
u_{56}=10\, 000\times 1{,}0125^{56}\approx 20\, 050{,}34
2\, 016+56=2\, 072
Le terme u_{56} correspond donc au capital au 1er janvier 2072.
Avec ce taux d'intérêt, le capital dépasserait 20 000€ pour la première fois à partir du 1er janvier 2072.