Soient \left(u_n\right) et \left(v_n\right) les suites définies sur \mathbb{N} par :
\begin{cases} u_0=0\\ u_{n+1}=\dfrac{3u_n+4v_n}{7} \end{cases} et \begin{cases} v_0=1\\ v_{n+1}=\dfrac{4u_n+3v_n}{7} \end{cases}
On cherche à déterminer une forme explicite de u_n et v_n.
On pose, pour tout entier naturel n :
w_n=u_n+v_n et x_n=v_n-u_n
Quelles sont les valeurs de u_1 et v_1 ?
u_1=\dfrac{3u_0+4v_0}{7}
u_1=\dfrac{3\times 0+4\times 1}{7}
u_1=\dfrac{4}{7}
v_1=\dfrac{4u_0+3v_0}{7}
v_1=\dfrac{4\times 0+3\times 1}{7}
v_1=\dfrac{3}{7}
u_1=\dfrac{4}{7} et v_1=\dfrac{3}{7}
Quelle proposition montre que la suite \left(w_n\right) est constante ?
Pour tout entier naturel n, on a :
w_{n+1}=u_{n+1}+v_{n+1}
w_{n+1}=\dfrac{3u_n+4v_n}{7}+\dfrac{4u_n+3v_n}{7}
w_{n+1}=\dfrac{7u_n+7v_n}{7}
w_{n+1}=u_n+v_n
w_{n+1}=w_n
La suite \left(w_n\right) est donc bien constante.
Or :
w_0=u_0+v_0
w_0=0+1
w_0=1
Pour tout entier naturel n, w_n=1.
Quelle proposition montre que la suite \left(x_n\right) est géométrique ?
Pour tout entier naturel n, on a :
x_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}
x_{n+1}=\dfrac{4u_n+3v_n}{7}-\dfrac{3u_n+4v_n}{7}
x_{n+1}=\dfrac{u_n-v_n}{7}
x_{n+1}=\dfrac{-1}{7}\left(v_n-u_n\right)
x_{n+1}=\dfrac{-1}{7}x_n
La suite \left(x_n\right) est donc bien géométrique de raison q=\dfrac{-1}{7}.
Ainsi, pour tout entier naturel n :
x_n=x_0\times q^n
Or :
x_0=v_0-u_0
x_0=1-0
x_0=1
Pour tout entier naturel n, x_n=\left(\dfrac{-1}{7}\right)^n.
Quelle est la forme explicite de u_n et v_n ?
D'après ce qui précède, on obtient, pour tout entier naturel n :
\begin{cases} u_n+v_n=1\\ -u_n+v_n=\left( \dfrac{-1}{7}\right)^n \end{cases}
On obtient donc, pour tout entier naturel n :
2v_n=1+\left(\dfrac{-1}{7}\right)^n,
soit v_n=\dfrac{1}{2}\left[1+\left(\dfrac{-1}{7}\right)^n\right],
et u_n=1-v_n
u_n=1-\dfrac{1}{2}\left[1+\left(\dfrac{-1}{7}\right)^n\right]
u_n=1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{-1}{7}\right)^n
u_n=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{-1}{7}\right)^n
u_n=\dfrac{1}{2}\left[1-\left(\dfrac{-1}{7}\right)^n\right]
Pour tout entier naturel n, u_n=\dfrac{1}{2}\left[1-\left(\dfrac{-1}{7}\right)^n\right] et v_n=\dfrac{1}{2}\left[1+\left(\dfrac{-1}{7}\right)^n\right].