Une suite est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée.
Soit la suite \left(u_n\right) définie par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \dfrac{n+1}{2n+3}
Montrer que la suite \left(u_n\right) est bornée.
Montrer que la suite est majorée
Si le majorant M est donné dans l'énoncé, on montre que \left(u_n\right) est majorée par M. Pour cela, on montre que \forall n \in \mathbb{N}, u_n\leq M.
Si le majorant M n'est pas donné dans l'énoncé, il faut préalablement le déterminer par une conjecture.
Une suite négative est majorée par 0.
Soit la suite \left(u_n\right) définie par, \forall n \in \mathbb{N}, u_n = -\dfrac{1}{n}.
On sait que \forall n \in \mathbb{N}, u_n\lt 0
Ainsi, \left(u_n\right) est majorée par 0.
\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \dfrac{n+1}{2n+3}.
On remarque que :
\forall n \in \mathbb{N}, n+1 \lt 2n+3
Or, \forall n \in \mathbb{N}, n+1 \gt 0 et 2n+3 \gt 0
On en déduit que :
\forall n \in \mathbb{N}, \dfrac{n+1}{2n+3} \lt 1
Donc :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n \lt 1
Ainsi, la suite \left(u_n\right) est majorée par 1.
Une suite décroissante est majorée par son premier terme.
Montrer que la suite est minorée
Si le minorant m est donné dans l'énoncé, on montre que \left(u_n\right) est minorée par m. Pour cela, on montre que \forall n \in \mathbb{N}, u_n\geqslant m.
Si le minorant m n'est pas donné dans l'énoncé, il faut préalablement le déterminer par une conjecture.
Une suite positive est forcément minorée par 0.
Soit la suite \left(u_n\right) définie par, \forall n \in \mathbb{N}^*, u_n = \dfrac{1}{n}.
On sait que \forall n \in \mathbb{N}^*, u_n\gt 0
Ainsi, \left(u_n\right) est minorée par 0.
\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \dfrac{n+1}{2n+3}.
On remarque que :
- \forall n \in \mathbb{N}, n+1 \gt 0
- \forall n \in \mathbb{N}, 2n+3\gt 0
On en déduit que :
\forall n \in \mathbb{N}, \dfrac{n+1}{2n+3} \gt 0
Donc :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n \gt 0
Ainsi, la suite \left(u_n\right) est minorée par 0.
Une suite croissante est minorée par son premier terme.
Conclure
On récite le cours : une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. On en conclut donc que la suite est bornée.
\left(u_n\right) est à la fois majorée par 1 et minorée par 0. Elle est donc bornée.