Soit \left(u_n\right) une suite arithmétique telle que u_5=8 et u_{11}=26.
Quels sont son premier terme u_0 et sa raison r ?
\left(u_n\right) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u_0, donc :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0+nr
Or on sait que :
\begin{cases} u_5=8 \cr \cr u_{11}=26 \end{cases}
On remplace par l'expression de u_n et on obtient le système suivant :
\begin{cases} 8=u_0+5r \cr \cr 26=u_0+11r \end{cases}
On soustrait les deux lignes pour éliminer u_0 de la deuxième ligne :
\begin{cases} 8=u_0+5r \cr \cr 18=6r \end{cases}
\begin{cases} 8=u_0+5r \cr \cr r=3 \end{cases}
On remplace enfin dans la première ligne pour obtenir la valeur de u_0 :
\begin{cases} 8=u_0+15 \cr \cr r=3 \end{cases}
\begin{cases} u_0=-7 \cr \cr r=3 \end{cases}
Ainsi, \left(u_n\right) est une suite arithmétique de raison r=3 et de premier terme u_0=-7.
Soit \left(u_n\right) une suite arithmétique telle que u_4=6 et u_{14}=23.
Quels sont son premier terme u_0 et sa raison r ?
\left(u_n\right) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u_0, donc :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0+nr
Or on sait que :
\begin{cases} u_4=6 \cr \cr u_{14}=23 \end{cases}
On remplace par l'expression de u_n et on obtient le système suivant :
\begin{cases} 6=u_0+4r \cr \cr 23=u_0+14r \end{cases}
On soustrait les deux lignes pour éliminer u_0 de la deuxième ligne :
\begin{cases} 6=u_0+4r \cr \cr 17=10r \end{cases}
\begin{cases} 6=u_0+4r \cr \cr r=\dfrac{17}{10} \end{cases}
On remplace enfin dans la première ligne pour obtenir la valeur de u_0 :
\begin{cases} 6=u_0+\dfrac{34}{5} \cr \cr r=\dfrac{17}{10}\end{cases}
\begin{cases} u_0=-\dfrac{4}{5} \cr \cr r=\dfrac{17}{10} \end{cases}
Ainsi, \left(u_n\right) est une suite arithmétique de raison r=\dfrac{17}{10} et de premier terme u_0=-\dfrac{4}{5}.
Soit \left(u_n\right) une suite arithmétique telle que u_6=42 et u_{21}=12.
Quels sont son premier terme u_0 et sa raison r ?
\left(u_n\right) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u_0, donc :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0+nr
Or on sait que :
\begin{cases} u_6=42 \cr \cr u_{21}=12 \end{cases}
On remplace par l'expression de u_n et on obtient le système suivant :
\begin{cases} 42=u_0+6r \cr \cr 12=u_0+21r \end{cases}
On soustrait les deux lignes pour éliminer u_0 de la deuxième ligne :
\begin{cases} 42=u_0+6r \cr \cr 30=-15r \end{cases}
\begin{cases} 42=u_0+6r \cr \cr r=-2\end{cases}
On remplace enfin dans la première ligne pour obtenir la valeur de u_0 :
\begin{cases} 42=u_0-12 \cr \cr r=-2 \end{cases}
\begin{cases} u_0=54 \cr \cr r=-2 \end{cases}
Ainsi, \left(u_n\right) est une suite arithmétique de raison r=-2 et de premier terme u_0=54.
Soit \left(u_n\right) une suite arithmétique telle que u_7=3 et u_{25}=15.
Quels sont son premier terme u_0 et sa raison r ?
\left(u_n\right) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u_0, donc :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0+nr
Or on sait que :
\begin{cases} u_7=3 \cr \cr u_{25}=15 \end{cases}
On remplace par l'expression de u_n et on obtient le système suivant :
\begin{cases} 3=u_0+7r \cr \cr 15=u_0+25r \end{cases}
On soustrait les deux lignes pour éliminer u_0 de la deuxième ligne :
\begin{cases} 3=u_0+7r \cr \cr 12=18r \end{cases}
\begin{cases} 3=u_0+7r \cr \cr r=\dfrac{2}{3} \end{cases}
On remplace enfin dans la première ligne pour obtenir la valeur de u_0 :
\begin{cases} 3=u_0+\dfrac{14}{3} \cr \cr r=\dfrac{2}{3} \end{cases}
\begin{cases} u_0=-\dfrac{5}{3} \cr \cr r=\dfrac{2}{3} \end{cases}
Ainsi, \left(u_n\right) est une suite arithmétique de raison r=\dfrac{2}{3} et de premier terme u_0=-\dfrac{5}{3}.
Soit \left(u_n\right) une suite arithmétique telle que u_7=-13 et u_{15}=-37.
Quels sont son premier terme u_0 et sa raison r ?
\left(u_n\right) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u_0, donc :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0+nr
Or on sait que :
\begin{cases} u_7=-13 \cr \cr u_{15}=-37 \end{cases}
On remplace par l'expression de u_n et on obtient le système suivant :
\begin{cases} -13=u_0+7r \cr \cr -37=u_0+15r \end{cases}
On soustrait les deux lignes pour éliminer u_0 de la deuxième ligne :
\begin{cases} -13=u_0+7r \cr \cr -24=8r \end{cases}
\begin{cases} -13=u_0+7r \cr \cr r=-3 \end{cases}
On remplace enfin dans la première ligne pour obtenir la valeur de u_0 :
\begin{cases} -13=u_0-21 \cr \cr r=-3 \end{cases}
\begin{cases} u_0=8 \cr \cr r=-3 \end{cases}
Ainsi, \left(u_n\right) est une suite arithmétique de raison r=-3 et de premier terme u_0=8.
Soit \left(u_n\right) une suite arithmétique telle que u_4=6 et u_{10}=30.
Quels sont son premier terme u_0 et sa raison r ?
\left(u_n\right) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u_0, donc :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0+nr
Or on sait que :
\begin{cases} u_4=6 \cr \cr u_{10}=30 \end{cases}
On remplace par l'expression de u_n et on obtient le système suivant :
\begin{cases} 6=u_0+4r \cr \cr 30=u_0+10r \end{cases}
On soustrait les deux lignes pour éliminer u_0 de la deuxième ligne :
\begin{cases} 6=u_0+4r \cr \cr 24=6r \end{cases}
\begin{cases} 6=u_0+4r \cr \cr r=4 \end{cases}
On remplace enfin dans la première ligne pour obtenir la valeur de u_0 :
\begin{cases} 6=u_0+16 \cr \cr r=4 \end{cases}
\begin{cases} u_0=-10 \cr \cr r=4 \end{cases}
Ainsi, \left(u_n\right) est une suite arithmétique de raison r=4 et de premier terme u_0=-10.