On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On marque 9 points si on a tiré l'as de pique, 5 points si on a tiré un autre as, 2 points si on a tiré une figure (Valet, Dame ou Roi) et aucun point dans tous les autres cas.
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de points marqués.
Quelle est la loi de probabilité de X ?
Chaque carte a une probabilité de \dfrac{1}{32} d'être tirée.
- Le joueur marque 9 points si l'as de pique est tiré, donc X prend la valeur 9. Or, il y a un seul as de pique dans le jeu donc la probabilité de marquer 9 points est de \dfrac{1}{32}. Donc, p\left(X=9\right)=\dfrac{1}{32}.
- Le joueur marque 5 points si les autres as sont tirés, donc X prend la valeur 5. Or, il y a trois autres as dans le jeu donc la probabilité de marquer 5 points est de \dfrac{3}{32}. Donc, p\left(X=5\right)=\dfrac{3}{32}.
- Le joueur marque 2 points si les figures sont tirées, donc X prend la valeur 2. Or, il y a 12 figures dans le jeu donc la probabilité de marquer 2 points est de \dfrac{12}{32}= \dfrac{3}{8}. Donc, p\left(X=2\right)=\dfrac{3}{8}.
- Le joueur ne amrque aucun point si les autres cartes sont tirées, donc X prend la valeur 0. Or, il reste 16 cartes dans le jeu donc la probabilité de ne marquer aucun point est de \dfrac{16}{32}= \dfrac{1}{2}. Donc, p\left(X=0\right)=\dfrac{1}{2}.
| x_{i} | 0 | 2 | 5 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| p\left(X=x_{i}\right) | \dfrac{1}{2} | \dfrac{3}{8} | \dfrac{3}{32} | \dfrac{1}{32} |
Quelle est la valeur de E\left(X\right) ?
L'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\sum_{}^{}x_ip\left(X=x_i\right)
D'après la question précédente, on obtient :
E\left(X\right)=0\times\dfrac{1}{2}+2\times\dfrac{3}{8}+5\times\dfrac{3}{32}+9\times\dfrac{1}{32}
E\left(X\right)=0+\dfrac{6}{8}+\dfrac{15}{32}+\dfrac{9}{32}
E\left(X\right)=\dfrac{24}{32}+\dfrac{15}{32}+\dfrac{9}{32}
E\left(X\right)=\dfrac{24}{32}+\dfrac{15}{32}+\dfrac{9}{32}
E\left(X\right)=\dfrac{48}{32}=1{,}5
E\left(X\right)=1{,}5
Comment interpréter la valeur de E\left(X\right) ?
E\left(X\right) est la valeur que prend la variable aléatoire X en moyenne.
Le joueur gagnera donc en moyenne 1,5 points.
Comme E\left(X\right)\gt0, le jeu est donc favorable au joueur.