On considère la matrice carrée d'ordre 2 suivante :
M=\begin{pmatrix} -1 & 1 \cr\cr 1 & -1 \end{pmatrix}
Calculer M^2.
Afin de calculer M^2, on effectue le produit matriciel de M par elle-même :
\begin{pmatrix} -1 & 1 \cr\cr 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 \cr\cr 1 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1+1 & -1-1\cr\cr -1-1& 1+1\end{pmatrix}
On en déduit que :
M^2 =\begin{pmatrix} 2& -2\cr\cr -2& 2\end{pmatrix}
Calculer M^3.
Afin de calculer M^3, on effectue le produit matriciel de M par M^2 :
\begin{pmatrix} -1& 1\cr\cr 1&- 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2& -2\cr\cr -2& 2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2-2& 2+2\cr\cr 2+2& -2-2\end{pmatrix}
On en déduit que :
M^3 = \begin{pmatrix} -4& 4\cr\cr 4&-4\end{pmatrix}
Calculer M^4.
Afin de calculer M^4, on effectue le produit matriciel de M par M^3 :
\begin{pmatrix} -1& 1\cr\cr 1& -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4& 4\cr\cr 4&-4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4+4& -4-4\cr\cr -4-4& 4+4\end{pmatrix}
On en déduit que :
M^4 = \begin{pmatrix} 8& -8\cr\cr -8& 8\end{pmatrix}