On considère la matrice carrée d'ordre 2 suivante :
M=\begin{pmatrix} -1 & 2 \cr\cr -3 & -4 \end{pmatrix}
Calculer M^2.
Afin de calculer M^2, on effectue le produit matriciel de M par elle-même :
\begin{pmatrix} -1 & 2 \cr\cr -3 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 \cr\cr -3 & -4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1-6 & -2-8\cr\cr 3+12& -6+16\end{pmatrix}
On en déduit que :
M^2 =\begin{pmatrix} -5& -10\cr\cr 15& 10\end{pmatrix}
Calculer M^3.
Afin de calculer M^3, on effectue le produit matriciel de M par M^2 :
\begin{pmatrix} -1 & 2 \cr\cr-3 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -5& -10\cr\cr 15& 10\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5+30& 10+20\cr\cr 15-60&30-40\end{pmatrix}
On en déduit que :
M^3 = \begin{pmatrix} 35& 30\cr\cr -45&-10\end{pmatrix}
Calculer M^4.
Afin de calculer M^4, on effectue le produit matriciel de M par M^3 :
\begin{pmatrix} -1&2\cr\cr -3&- 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 35& 30\cr\cr -45&-10\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -35-90& -30-20\cr\cr -105+180& -90+40\end{pmatrix}
On en déduit que :
M^4 = \begin{pmatrix} -125& -50\cr\cr 75& -50\end{pmatrix}