On considère la matrice carrée d'ordre 2 suivante :
M=\begin{pmatrix} -1 & 1 \cr\cr 2 & -2 \end{pmatrix}
Calculer M^2.
Afin de calculer M^2, on effectue le produit matriciel de M par elle-même :
\begin{pmatrix} -1 & 1 \cr\cr 2 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 \cr\cr 2 & -2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1+2 & -1-2\cr\cr -2-4& 2+4\end{pmatrix}
On en déduit que :
M^2 =\begin{pmatrix} 3& -3\cr\cr -6& 6\end{pmatrix}
Calculer M^3.
Afin de calculer M^3, on effectue le produit matriciel de M par M^2 :
\begin{pmatrix} -1 & 1 \cr\cr 2 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3& -3\cr\cr -6& 6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3-6& 3+6\cr\cr 6+12& -6-12\end{pmatrix}
On en déduit que :
M^3 = \begin{pmatrix} -9& 9\cr\cr 18&-18\end{pmatrix}
Calculer M^4.
Afin de calculer M^4, on effectue le produit matriciel de M par M^3 :
\begin{pmatrix} -1&1\cr\cr 2&- 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -9& 9\cr\cr 18&-18\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 9+18& -9-18\cr\cr -18-36& 18+36\end{pmatrix}
On en déduit que :
M^4 = \begin{pmatrix} 27& -27\cr\cr -54& 54\end{pmatrix}