On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)= x^2 + \cos\left(x\right)
Quelle proposition montre que f est une fonction paire ?
f est paire si et seulement si :
- Son domaine de définition est centré en 0
- \forall x \in D_f, f\left(-x\right)=f\left(x\right)
Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.
De plus, on a :
\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=\left(-x\right)^2 + \cos\left(-x\right)
Et comme \cos \left(-x\right)=\cos\left(x\right), et que \left(-x\right)^2=x^2, on a :
f\left(-x\right)=x^2 + \cos\left(x\right)
f\left(-x\right)=f\left(x\right)
f est une fonction paire.
Quelle est la valeur de A=\int_{-1}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx ?
A=\int_{-1}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
D'après la relation de Chasles :
A=\int_{-1}^{0} f\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Or on sait que f est une fonction paire. On a donc :
\int_{-1}^{0} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Ainsi, on obtient :
A=2\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Or,
\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx = \int_{0}^{1} x^2 + \cos\left(x\right) \ \mathrm dx = \left[ \dfrac{x^3}{3} + \sin \left(x\right) \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx = \dfrac{1}{3} + \sin\left(1\right) - 0 - \sin \left(0\right)
\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx = \dfrac{1}{3} + \sin\left(1\right)
Ainsi,
A=2\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx = \dfrac{2}{3} + 2\sin\left(1\right)
\int_{-1}^{1} x^2 + \cos\left(x\right) \ \mathrm dx= \dfrac{2}{3} + 2\sin\left(1\right)