On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=e^{x}+e^{-x}+\cos\left(x\right)
Quelle proposition montre que f est une fonction paire ?
f est paire si et seulement si :
- Son domaine de définition est centré en 0
- \forall x \in D_f, f\left(-x\right)=f\left(x\right)
Ici, D_f=\mathbb{R} centré en 0.
De plus, on a :
\forall x \in D_f, f\left(-x\right)=e^{-x}+e^{-\left(-x\right)}+\cos\left(-x\right)
Et comme \cos \left(-x\right)=\cos\left(x\right), on a :
f\left(-x\right)=e^{-x}+e^{x}+\cos\left(x\right)
f\left(-x\right)=f\left(x\right)
f est une fonction paire.
Quelle est la valeur de A=\int_{-1}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx ?
A=\int_{-1}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
D'après la relation de Chasles :
A=\int_{-1}^{0} f\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Or on sait que f est une fonction paire. On a donc :
\int_{-1}^{0} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Ainsi, on obtient :
A=2\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
Or,
\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{0}^{1} e^{x}+e^{-x}+\cos\left(x\right) \ \mathrm dx
\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx= \left[ e^x - e^{-x}+\sin\left(x\right) \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx= e^1-e^{-1}+\sin\left(1\right)-\left(e^0-e^0-\sin\left(0\right)\right)
\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx= e-e^{-1}+\sin\left(1\right)-1+1+0
\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx= e-e^{-1}+\sin\left(1\right)
Ainsi,
A=2\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx = 2e-2e^{-1}+2\sin\left(1\right)
\int_{-1}^{1} e^x + e^{-x} + \cos\left(x\right) \ \mathrm dx = 2e-2e^{-1}+2\sin\left(1\right)