Quelles sont les solutions de l'équation 2\left(sinx\right)^2-2 = 0 sur \left[ 0 ; 2\pi \right] ?
Quelles sont les solutions de l'équation \left(\cos x\right)^2-\cos x +\dfrac{1}{4}= 0 sur \left[ -\pi ; \pi \right[ ?
Quelles sont les solutions de l'équation \cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)= \sin x sur \left[ 0 ; 2\pi \right[ ?
Quelles sont les solutions de l'équation \sin\left( x-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt2}{2} sur \left[ -\pi ; \pi \right] ?
Quelles sont les solutions de l'équation 2 \cos \left(3x\right) -1 =0 dans \left[ 0 ; 2\pi \right[ ?
Résolution de l'équation
2 \cos \left(3x\right) -1 =0
\Leftrightarrow \cos \left(3x\right) = \dfrac {1}{2}
\Leftrightarrow \cos \left(3x\right) = \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)
\Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi}{3} +k2\pi avec k \in \mathbb{Z} ou 3x = -\dfrac{\pi}{3} +k2\pi avec k \in \mathbb{Z}.
\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{9} +k\dfrac{2\pi}{3} avec k \in \mathbb{Z} ou x =- \dfrac{\pi}{9} +k\dfrac{2\pi}{3} avec k \in \mathbb{Z}.
Détermination des solutions dans l'intervalle \left[ 0 ; 2\pi \right[
- Pour k = 0, on obtient \dfrac{\pi}{9} ou -\dfrac{\pi}{9}. Seul \dfrac{\pi}{9} appartient à l'intervalle \left[ 0 ; 2\pi \right[.
- Pour k = 1, on obtient \dfrac{7\pi}{9} ou \dfrac{5\pi}{9}. Ils appartiennent tous les deux à \left[ 0 ; 2\pi \right[.
- Pour k = 2, on obtient \dfrac{13\pi}{9} ou \dfrac{11\pi}{9} . Ils appartiennent tous les deux à \left[ 0 ; 2\pi \right[
- Pour k = 3, on obtient \dfrac{19\pi}{9} ou \dfrac{17\pi}{9}. Seul \dfrac{17\pi}{9} appartient à l'intervalle \left[ 0 ; 2\pi \right[.
- Pour k = -1, on obtient -\dfrac{5\pi}{9} et -\dfrac{7\pi}{9} . Aucun des deux n'appartient à \left[ 0 ; 2\pi \right[.
S = \left\{ \dfrac{\pi}{9}; \dfrac{5\pi}{9} ; \dfrac{7\pi}{9} ; \dfrac{11\pi}{9} ; \dfrac{13\pi}{9} ; \dfrac{17\pi}{9} \right\}
Quelles sont les solutions de l'équation 2\sin\left(2x+\pi\right)-1 = 0 dans \left[ 0 ; 2\pi \right[ ?
Résolution de l'équation
2\sin\left(2x+\pi\right)-1=0
\Leftrightarrow 2\sin\left(2x+\pi\right)=1
\Leftrightarrow \sin\left(2x+\pi\right) = \dfrac{1}{2}
\Leftrightarrow \sin\left(2x+\pi\right) = \sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)
\Leftrightarrow 2x+\pi = \dfrac{\pi}{6}+k2\pi avec k \in \mathbb{Z} ou 2x+\pi = \pi -\dfrac{\pi}{6}+k2\pi avec k \in \mathbb{Z}.
\Leftrightarrow 2x =- \dfrac{5\pi}{6} +k2\pi avec k \in \mathbb{Z} ou 2x =- \dfrac{\pi}{6} +k2\pi avec k \in \mathbb{Z}.
\Leftrightarrow x =- \dfrac{5\pi}{12} +k\pi avec k \in \mathbb{Z} ou x =- \dfrac{\pi}{12} +k\pi avec k \in \mathbb{Z}.
Détermination des solutions dans l'intervalle \left[ 0 ; 2\pi \right[
- Pour k = 0, on obtient -\dfrac{5\pi}{12} ou -\dfrac{\pi}{12}. Aucun des deux n'appartient à \left[ 0 ; 2\pi \right[.
- Pour k = 1, on obtient \dfrac{7\pi}{12} ou \dfrac{11\pi}{12}. Ils appartiennent tous les deux à \left[ 0 ; 2\pi \right[.
- Pour k = 2, on obtient \dfrac{19\pi}{12} ou \dfrac{23\pi}{12}. Ils appartiennent tous les deux à \left[ 0 ; 2\pi \right[.
- Pour k = 3, on obtient \dfrac{31\pi}{12} et \dfrac{35\pi}{12}. Aucun des deux n'appartient à \left[ 0 ; 2\pi \right[.
S = \left\{ \dfrac{7\pi}{12}; \dfrac{11\pi}{12} ;\dfrac{19\pi}{12} ; \dfrac{23\pi}{12} \right\}
Quelles sont les solutions de l'équation \cos\left(2x\right) = \sin\left(x\right) dans \left[ 0 ; 2\pi \right[ ?
Résolution de l'équation
\cos\left(2x\right)=\sin\left(x\right)
Or, on sait que \sin a = \cos \left(\dfrac{\pi}{2}-a\right).
Donc l'équation devient : \cos\left(2x\right)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)
\Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2}-x+k2\pi avec k \in \mathbb{Z} ou 2x= -\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) +k2\pi avec k \in \mathbb{Z}.
\Leftrightarrow 3x =\dfrac{\pi}{2} +k2\pi avec k \in \mathbb{Z} ou x =- \dfrac{\pi}{2} +k2\pi avec k \in \mathbb{Z}.
\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} +k\dfrac{2\pi}{3} avec k \in \mathbb{Z} ou x =- \dfrac{\pi}{2} +k2\pi avec k \in \mathbb{Z}.
Détermination des solutions dans l'intervalle \left[ 0 ; 2\pi \right[
- Pour k = 0, on obtient \dfrac{\pi}{6} ou -\dfrac{\pi}{2}. Seul \dfrac{\pi}{6} appartient à \left[ 0 ; 2\pi \right[.
- Pour k = 1, on obtient \dfrac{5\pi}{6} ou \dfrac{3\pi}{2}. Ils appartiennent tous les deux à \left[ 0 ; 2\pi \right[.
- Pour k = 2, on obtient \dfrac{3\pi}{2} ou \dfrac{7\pi}{2}. Seul \dfrac{3\pi}{2} appartient à \left[ 0 ; 2\pi \right[.
- Pour k = 3, on obtient \dfrac{13\pi}{6} et \dfrac{11\pi}{2}. Aucun des deux n'appartient à \left[ 0 ; 2\pi \right[.
- Pour k = -1, on obtient -\dfrac{\pi}{2} et -\dfrac{5\pi}{2}. Aucun des deux n'appartient à \left[ 0 ; 2\pi \right[.
S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}; \dfrac{5\pi}{6} ;\dfrac{3\pi}{2} \right\}
Quelles sont les solutions de l'équation \left(cosx\right)^2 -\dfrac{1}{2}\cos x-\dfrac{1}{2}=0 dans \left[ 0 ; 2\pi \right[ ?
Transformation de l'équation
Il faut se rapporter à une équation du second degré, on effectue donc le changement de variable suivant : \cos x= X .
L'équation \left(cosx\right)^2 -\dfrac{1}{2}\cos x-\dfrac{1}{2}=0 devient ainsi X^2 -\dfrac{1}{2}X-\dfrac{1}{2}=0.
Résolution de l'équation du second degré
On calcule le discriminant \Delta :
\Delta = b^2-4ac = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2-4\times 1 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{1}{4}+2=\dfrac{9}{4}.
\Delta \gt 0 donc l'équation admet deux solutions.
- X_1= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{\dfrac{1}{2}-\sqrt{\dfrac{9}{4}}}{2} =\dfrac{\dfrac{1}{2}-{\dfrac{3}{2}}}{2} = -\dfrac{1}{2}
- X_2= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{\dfrac{1}{2}+\sqrt{\dfrac{9}{4}}}{2} =\dfrac{\dfrac{1}{2}+{\dfrac{3}{2}}}{2} = 1
Résolution de la première équation
On peut alors déterminer les solutions de l'équation \left(cosx\right)^2 -\dfrac{1}{2}\cos x-\dfrac{1}{2}=0 :
X_1 = -\dfrac{1}{2}
\Leftrightarrow \cos\left(x_1\right) = -\dfrac{1}{2}
\Leftrightarrow \cos\left(x_1\right) = \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)
\Leftrightarrow x_1 =\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi avec k \in \mathbb{Z} ou x_1 =\dfrac{-2\pi}{3}+2k\pi avec k \in \mathbb{Z}.
De même :
X_2 = 1
\Leftrightarrow \cos\left(x_2\right) = 1
\Leftrightarrow \cos\left(x_2\right) = \cos \left(0\right)
\Leftrightarrow x_2 =0+2k\pi avec k \in \mathbb{Z} ou x_2 =-0+2k\pi avec k \in \mathbb{Z}.
Finalement x_2 = k2\pi.
Détermination des solutions dans l'intervalle \left[ 0 ; 2\pi \right]
- Pour k = 0, on obtient -\dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3} ou 0. Seuls 0 et \dfrac{2\pi}{3} appartiennent à l'intervalle \left[ 0 ; 2\pi \right[.
- Pour k = 1, on obtient \dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{8\pi}{3} ou 2\pi. Seul \dfrac{4\pi}{3} appartient à l'intervalle \left[ 0 ; 2\pi \right[.
- Pour k = 2, on obtient \dfrac{10\pi}{3}, \dfrac{14\pi}{3} ou 4\pi. Aucun des trois n'appartient à \left[ 0 ; 2\pi \right[.
- Pour k = -1, on obtient -\dfrac{8\pi}{3} , -\dfrac{4\pi}{3} ou -2\pi. Aucun des trois n'appartient à \left[ 0 ; 2\pi \right[.
S = \left\{ 0;\dfrac{2\pi}{3}; \dfrac{4\pi}{3}\right\}