Quelle est la périodicité de la fonction suivante définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = 2\sin\left(2x\right) -1 ?
On remarque que \forall x \in \mathbb{R} :
f\left(x+\pi\right) = 2\sin\left(2\left(x+\pi\right)\right)-1
f\left(x+\pi\right) = 2\sin\left(2x+2\pi\right) -1.
Or, on sait que \forall X \in \mathbb{R} :
\sin\left(X+2\pi\right) = \sin \left(X\right) .
On a donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x+\pi\right) = 2\sin 2x -1 = f\left(x\right)
La fonction f est périodique de période \pi.
Quelle est la périodicité de la fonction f suivante définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = \sin\left(x\right)\cos\left(x\right) ?
On remarque que \forall x \in \mathbb{R} :
f\left(x+\pi\right) = \sin\left(x+\pi\right)\cos\left(x+\pi\right)
Or, on sait que \forall x \in \mathbb{R} :
\sin\left(x+\pi\right) = -\sin \left(x\right) et \cos\left(x+\pi\right) = -\cos\left(x\right) .
On a donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x+\pi\right) = \sin\left(x\right)\cos\left(x\right) = f\left(x\right)
La fonction f est périodique de période \pi.
Quelle est la périodicité de la fonction f suivante définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = \cos\left(4x+1\right)+1 ?
On remarque que \forall x \in \mathbb{R} :
f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(4\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+1\right)+1= \cos \left(4x+1+2\pi\right)+1
Or, on sait que \forall X \in \mathbb{R} :
\cos\left(X+2\pi\right) = \cos\left(X\right) .
On a donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(4x+1\right)+1 = f\left(x\right)
La fonction f est périodique de période \dfrac{\pi}{2}.
Quelle est la périodicité de la fonction f suivante définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = 2\sin\left(\cos x\right) ?
On remarque que \forall x \in \mathbb{R} :
f\left(x+2\pi\right) = 2\sin\left(\cos\left(x+2\pi\right)\right)
Or, on sait que \forall X \in \mathbb{R} :
\cos\left(X+2\pi\right) = \cos\left(X\right) .
On a donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x+2\pi\right) = 2\sin\left(cosx\right)= f\left(x\right)
La fonction f est périodique de période 2\pi.
Quelle est la périodicité de la fonction f suivante définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = \cos\left(\dfrac{1}{2}x-4\right) ?
On remarque que \forall x \in \mathbb{R} :
f\left(x+4\pi\right) = \cos\left(\dfrac{1}{2}\left(x+4\pi\right)-4\right)=\cos \left(\dfrac{1}{2}x-4+2\pi\right)
Or, on sait que \forall X \in \mathbb{R} :
\cos\left(X+2\pi\right) = \cos\left(X\right) .
On a donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x+4\pi\right) = \cos\left(\dfrac{1}{2}x-4\right)= f\left(x\right)
La fonction f est périodique de période 4\pi.
Quelle est la périodicité de la fonction f suivante définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = \sin\left(\pi\left(x+2\right)+3\right) ?
On remarque que \forall x \in \mathbb{R} :
f\left(x+2\right) = \sin\left(\pi\left(x+2+2\right)+3\right)=\sin\left(\pi\left(x+2\right)+3+2\pi\right)
Or, on sait que \forall X \in \mathbb{R} :
\sin\left(X+2\pi\right) = \sin\left(X\right) .
On a donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x+2\right) = \sin\left(\pi\left(x+2\right)+3\right)= f\left(x\right)
La fonction f est périodique de période 2.
Quelle est la périodicité de la fonction f suivante définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = \left(\cos\left(x\right)\right)^2 ?
On remarque que \forall x \in \mathbb{R} :
f\left(x+\pi\right) = \left(\cos\left(x+\pi\right)\right)^2
Or, on sait que \forall X \in \mathbb{R} :
\cos\left(X+\pi\right) = -\cos\left(X\right) .
On a donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x+\pi\right) = \left(-\cos\left(x\right)\right)^2= \left(\cos\left(x\right)\right)^2= f\left(x\right)
La fonction f est périodique de période \pi.