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  4. Méthode : Réaliser une étude de fonction

Réaliser une étude de fonction Méthode

Sommaire

1Rappeler le domaine de définition de f 2Calculer les limites aux bornes 3Dériver f 4Etudier le signe de f' 5Enoncer le lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction 6Calculer les extremums locaux éventuels 7Dresser le tableau de variations

L'étude d'une fonction f est une composante incontournable d'un problème. Selon l'énoncé, le nombre de questions intermédiaires peut varier, c'est pourquoi il faut être capable de dérouler par soi-même toutes les étapes de l'étude. L'objectif est de dresser le tableau de variations complet d'une fonction.

Etudier les variations de la fonction f définie par :

\forall x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = \dfrac{x-1}{e^x}

Etape 1

Rappeler le domaine de définition de f

L'étude d'une fonction est restreinte à son domaine de définition, il est donc important de déterminer celui-ci.

La fonction f est définie sur \mathbb{R}.

Etape 2

Calculer les limites aux bornes

On calcule les limites de f aux bornes ouvertes de son ensemble de définition.

On doit déterminer les limites de f en -\infty et +\infty.

On a :

  • \lim\limits_{x \to -\infty} x-1 = -\infty
  • \lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0^+

On en déduit, par quotient :

\lim\limits_{x \to -\infty} f\left(x\right) = -\infty

En +\infty, il s'agit d'une forme indéterminée. On transforme l'expression :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = \dfrac{x}{e^x} - \dfrac{1}{e^x}

On a :

  • \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x} =0^+ (croissances comparées)
  • \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{e^x} =0^+

On en déduit, par somme :

\lim\limits_{x \to +\infty} f\left(x\right) = 0

Etape 3

Dériver f

On calcule la dérivée de f et on simplifie l'expression.

La fonction est dérivable sur \mathbb{R} en tant que quotient de fonctions dérivables sur \mathbb{R} dont le dénominateur ne s'annule pas.

On remarque que f = \dfrac{u}{v} avec,

  • \forall x \in \mathbb{R}, u\left(x\right) = x-1
  • \forall x \in \mathbb{R}, v\left(x\right) = e^x

On en déduit que :

f' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Avec :

  • \forall x \in \mathbb{R}, u'\left(x\right) = 1
  • \forall x \in \mathbb{R}, v'\left(x\right) = e^x

On obtient :

\forall x \in \mathbb{R}, f' \left(x\right)= \dfrac{e^x-\left(x-1\right)e^x}{\left(e^x\right)^2}

\forall x \in \mathbb{R}, f' \left(x\right)= \dfrac{e^x\left(1-x+1\right)}{\left(e^x\right)^2}

Finalement :

\forall x \in \mathbb{R}, f' \left(x\right)= \dfrac{2-x}{e^x}

Etape 4

Etudier le signe de f'

On étudie le signe de f'\left(x\right), en utilisant éventuellement un tableau de signes.

On étudie le signe de la dérivée, en étudiant séparément le signe du numérateur et le signe du dénominateur :

  • \forall x\in\mathbb{R}, e^x\gt0
  • Soit x\in\mathbb{R}, 2-x \gt 0 \Leftrightarrow x\lt 2

On en déduit le signe de f'\left(x\right) :

-
Etape 5

Enoncer le lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction

On rappelle que :

  • Si f'\left(x\right) \gt 0 sur un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si f'\left(x\right) \lt 0 sur un intervalle I, alors f est strictement décroissante sur I.

D'après le cours, on sait que :

  • Si f'\left(x\right) \gt 0 sur un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si f'\left(x\right) \lt 0 sur un intervalle I, alors f est strictement décroissante sur I.

On en déduit que :

  • f est strictement croissante sur \left]-\infty ; 2 \right[.
  • f est strictement décroissante sur \left]2; +\infty \right[.
Etape 6

Calculer les extremums locaux éventuels

On calcule la valeur de f aux points où sa dérivée s'annule et change de signe.

On calcule f\left(2\right) :

f\left(2\right) =\dfrac{2-1}{e^2}

f\left(2\right) =e^{-2}

Etape 7

Dresser le tableau de variations

On synthétise ces informations dans le tableau de variations de f :

  • Le domaine de définition de f, les valeurs où sa dérivée change de signe et les éventuelles valeurs interdites
  • Le signe de f'\left(x\right)
  • Les variations de f
  • Les limites et les extremums locaux

On dresse enfin le tableau de variations de f :

-

Même si l'on connaît les étapes de l'étude de fonction par cœur, il est indispensable de lire soigneusement l'énoncé. Il faut répondre à chaque question rigoureusement, et ne pas se laisser entraîner à répondre à plusieurs questions en même temps par automatisme.

Une étude de fonction peut s'avérer longue et très calculatoire. Il est donc fortement conseillé de hiérarchiser les étapes et les calculs.

Voir aussi
  • Cours : La dérivation
  • Quiz : La dérivation
  • Exercice : Connaître la dérivée d'une fonction composée
  • Exercice : Déterminer le domaine de dérivabilité d'un fonction composée par une fonction carré
  • Exercice : Déterminer le domaine de dérivabilité d'un fonction composée par une fonction cube
  • Exercice : Déterminer le domaine de dérivabilité d'un fonction composée par une fonction inverse
  • Exercice : Déterminer le domaine de dérivabilité d'un fonction composée par une fonction racine carrée
  • Exercice : Déterminer le domaine de dérivabilité d'un fonction composée par une fonction puissance
  • Exercice : Déterminer le domaine de dérivabilité d'un fonction composée
  • Exercice : Dériver une fonction composée par une fonction carré
  • Exercice : Dériver une fonction composée par une fonction cube
  • Exercice : Dériver une fonction composée par une fonction inverse
  • Exercice : Dériver une fonction composée par une fonction racine carrée
  • Exercice : Dériver une fonction composée par une fonction puissance
  • Exercice : Dériver une fonction composée par une fonction
  • Exercice : Calculer la dérivée seconde d'une fonction usuelle
  • Exercice : Calculer la dérivée seconde d'une fonction composée
  • Exercice : Calculer la dérivée seconde de plusieurs opérations de fonctions usuelles
  • Exercice : Calculer la dérivée seconde de plusieurs opérations de fonctions composées
  • Exercice : Connaître les caractéristiques de la convexité
  • Exercice : Déterminer graphiquement si une fonction simple est convexe ou concave
  • Exercice : Déterminer graphiquement les intervalles où une fonction est convexe ou concave à l'aide de la courbe représentative de la fonction
  • Exercice : Déterminer graphiquement les intervalles où une fonction est convexe ou concave à l'aide de la courbe représentative de la dérivée
  • Exercice : Déterminer graphiquement les intervalles où une fonction est convexe ou concave à l'aide de la courbe représentative de la dérivée seconde
  • Exercice : Déterminer si une fonction usuelle est convexe ou concave
  • Exercice : Déterminer si une fonction composée est convexe ou concave
  • Exercice : Déterminer si une opération de fonctions usuelles est convexe ou concave
  • Exercice : Déterminer si une opération de fonctions composées est convexe ou concave
  • Exercice : Déterminer graphiquement le point d'inflexion d'une fonction
  • Exercice : Déterminer le point d'inflexion d'une fonction usuelle
  • Exercice : Déterminer le point d'inflexion d'une fonction composée
  • Exercice : Déterminer le point d'inflexion d'une opération de fonctions usuelles
  • Exercice : Déterminer le point d'inflexion d'une opération de fonctions composées
  • Exercice : Esquisser l’allure de la courbe représentative d’une fonction à partir de son tableau de variation
  • Exercice : Esquisser l’allure de la courbe représentative d’une fonction à partir du tableau de variation de sa dérivée
  • Exercice : Esquisser l’allure de la courbe représentative d’une fonction à partir du tableau de variation de sa dérivée seconde
  • Problème : Etudier les variations et les limites d'une fonction construite simplement à partir des fonctions usuelles
  • Problème : Etudier les variations et les limites d'une fonction construite simplement à partir des fonctions composées
  • Problème : Etudier les variations et les limites d'une fonction construite simplement à partir d'opérations de fonctions usuelles
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  • Problème : Etudier la convexité d’une fonction usuelle
  • Problème : Etudier la convexité d’une fonction composée
  • Problème : Etudier la convexité de plusieurs opérations de fonctions usuelles
  • Problème : Etudier la convexité de plusieurs opérations de fonctions composées
  • Exercice : Démontrer que si la dérivée seconde de f est positive, alors la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes
  • Méthode : Dériver une fonction comportant une exponentielle

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