Un point M\left(x;y\right) appartient à C_f, la courbe représentative d'une fonction f, si et seulement si x\in D_f et f\left(x\right) = y.
On considère une fonction f, définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = \cos\left(x\right)\sin\left(x\right)
Démontrer que le point A\left( \dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{1}{2}\right) appartient à C_f, la courbe représentative de f.
Réciter le cours
On rappelle qu'un point M\left(x;y\right) appartient à C_f si et seulement si x\in D_f et f\left(x\right) = y.
Le point A appartient à C_f si et seulement si \dfrac{\pi}{4}\in D_f et f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}.
Vérifier que x\in D_f et calculer f\left(x\right)
On vérifie que x\in D_f et on calcule f\left(x\right).
D_f=\mathbb{R}, donc \dfrac{\pi}{4}\in D_f.
On calcule f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) :
f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)
f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt 2}{2} \times \dfrac{\sqrt 2}{2}
f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\left(\sqrt 2\right)^2}{4}
f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{1}{2}
Conclure
- Si x\in D_f et f\left(x\right) = y, on en déduit que le point M\left(x;y\right) appartient à C_f.
- Si x\in D_f et f\left(x\right) \neq y, on en déduit que le point M\left(x;y\right) n'appartient pas à C_f.
- Si x\notin D_f, on en déduit que le point M\left(x;y\right) n'appartient pas à C_f.
On a bien \dfrac{\pi}{4}\in D_f et f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{1}{2} .
On en déduit que le point A\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{1}{2}\right) appartient à C_f.