Déterminer la position relative de deux courbes C_f et C_g revient à savoir sur quel(s) intervalle(s) la première est au-dessus de la seconde (et inversement). Cette question se résout par une étude de signe.
Soient les fonctions f et g définies par :
\forall x \in \left[ - \pi ; \pi \right], f\left(x\right) =2\cos \left(x\right)
\forall x \in \left[ - \pi ; \pi \right], g\left(x\right) = \cos \left(x\right) + \dfrac{1}{2}
On appelle C_f et C_g les courbes représentatives de f et de g. Déterminer la position relative de C_f et C_g.
Énoncer la démarche
On explique la démarche : "Pour étudier la position relative de C_f et de C_g, on étudie le signe de f\left(x\right) - g\left(x\right) ".
Pour étudier la position relative de C_f et de C_g, on étudie le signe de f\left(x\right) - g\left(x\right) .
Calculer f\left(x\right)-g\left(x\right)
On calcule ensuite f\left(x\right)-g\left(x\right) en simplifiant le résultat au maximum, afin d'obtenir une expression dont il est facile d'étudier le signe.
On a :
\forall x \in \left[ -\pi ; \pi \right], f\left(x\right) -g\left(x\right) = 2\cos \left(x\right) -\left(\cos\left( x\right) +\dfrac{1}{2}\right)
\forall x \in \left[ -\pi ; \pi \right], f\left(x\right) -g\left(x\right) = 2\cos \left(x\right) -\cos\left( x\right) -\dfrac{1}{2}
Donc :
\forall x \in \left[ -\pi ; \pi \right], f\left(x\right) -g\left(x\right) = \cos \left(x\right) -\dfrac{1}{2}
Étudier le signe de f\left(x\right)-g\left(x\right)
On étudie alors le signe de f\left(x\right)-g\left(x\right) selon les valeurs de x. On dresse un tableau de signes si l'expression est compliquée.
Afin d'étudier le signe de f\left(x\right)-g\left(x\right) sur \left[- \pi ; \pi\right], on résout l'équation f\left(x\right)-g\left(x\right) \gt 0. Pour tout réel x\in \left[ -\pi;\pi \right] :
f\left(x\right)-g\left(x\right) \gt 0
\Leftrightarrow \cos \left(x\right) - \dfrac{1}{2} \gt 0
\Leftrightarrow \cos \left(x\right) \gt \dfrac{1}{2}
Or \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)= \dfrac{1}{2}
Donc, pour tout réel x\in \left[ -\pi;\pi \right] :
\cos \left(x\right) \gt \dfrac{1}{2}
\Leftrightarrow \cos \left(x\right) \gt \cos \left(\dfrac{\pi}{3} \right)
En s'aidant du cercle trigonométrique, on en déduit que pour tous réels a et b de \left[ -\pi;\pi \right]
\cos \left(x\right) \gt \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow x \in \left] -\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{\pi}{3} \right[
On dresse le tableau de signes sur \left[- \pi ; \pi\right] :
Conclure
Finalement, on conclut en trois étapes :
- Sur les intervalles où f\left(x\right)-g\left(x\right)\gt 0, C_f est au-dessus de C_g.
- Sur les intervalles où f\left(x\right)-g\left(x\right)\lt 0, C_f est en dessous de C_g.
- Lorsque f\left(x\right) -g\left(x\right) = 0, C_f et C_g ont un point d'intersection.
On conclut que :
- Sur \left]-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{3} \right[ , f\left(x\right)-g\left(x\right)\gt 0, C_f est au-dessus de C_g.
- Sur \left[-\pi ; -\dfrac{\pi}{3} \right[ \cup \left] \dfrac{\pi}{3};\pi \right], f\left(x\right)-g\left(x\right)\lt 0, C_f est en dessous de C_g.
- f\left(x\right) -g\left(x\right) = 0 aux points d'abscisses x = -\dfrac{\pi}{3} et x = \dfrac{\pi}{3}, donc C_f et C_g ont deux points d'intersection.