Sommaire
IExistence et représentation graphiqueALe domaine de définitionBLa courbe représentativeIIComportementALe sens de variationBSigne de la dérivéeCLes extremumsIIIOpérationsAOpérations et variationsBLe signe d'une fonctionIVLes fonctions trigonométriquesAPropriétés de parité et de périodicité d'une fonction1Fonctions paires et impaires : domaine de définition2Périodicité d'une fonctionBLa fonction sinus1Définition2Sens de variation3Courbe représentativeCLa fonction cosinus1Définition2Sens de variation3Courbe représentativeExistence et représentation graphique
Le domaine de définition
Domaine de définition
Le domaine de définition D_{f} d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f\left(x\right) existe.
L'ensemble de définition de la fonction f d'expression f\left(x\right)=3x^5+5x^3-1 est D_f=\mathbb{R}.
Comportement
Le sens de variation
Fonction strictement croissante
Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \lt f\left(y\right)
Fonction strictement décroissante
Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \gt f\left(y\right)
Signe de la dérivée
Sens de variation
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
- Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
- Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.
Stricte monotonie
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- Si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
- Si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
Les extremums
Un extremum est un maximum ou un minimum.
Extremum local
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :
- Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f'\left(a\right) = 0 .
- Si f' s'annule en changeant de signe en a, alors f\left(a\right) est un extremum local de f.
Opérations
Opérations et variations
Sens de variation de f+g
Si deux fonctions f et g ont le même sens de variation sur l'intervalle I, la fonction h=f + g possède également le même sens de variation sur I.
Les fonctions f et g définies pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2 et g\left(x\right)=x^3 sont croissantes sur \left[0;+\infty\right[.
La fonction h définie pour tout réel x par h\left(x\right)=\left(f+g\right)\left(x\right)=x^2+x^3 est donc également croissante sur \left[0;+\infty\right[.
Sens de variation de kf avec k\gt0
Soit k un réel strictement positif. La fonction g=kf possède le même sens de variation que la fonction f sur l'intervalle I.
Soit la fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2. f est croissante sur \left[0;+\infty\right[.
Soit g la fonction définie pour tout réel x par g\left(x\right)=3f\left(x\right)=3x^2. Comme 3\gt0, la fonction g est également croissante sur \left[0;+\infty\right[.
Sens de variation de kf avec k\lt0
Soit k un réel strictement négatif. La fonction g=kf possède le sens de variation contraire à celui de la fonction f sur l'intervalle I.
Soit la fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2. f croissante sur \left[0;+\infty\right[.
Soit g la fonction définie pour tout réel x par g\left(x\right)=-5f\left(x\right)=-5x^2. On a -5 \lt 0, donc g est décroissante sur \left[0;+\infty\right[.
Sens de variation de \sqrt u
Soit u une fonction positive sur I.
Les fonctions u et \sqrt u ont le même sens de variation sur I.
La fonction f définie pour tout réel x de \mathbb{R}^{+*} par f\left(x\right)=\dfrac1x est positive et décroissante sur \mathbb{R}^{+*}.
La fonction g définie pour tout réel x de \mathbb{R}^{+*} par g\left(x\right)=\sqrt {\dfrac{1}{x}} est donc décroissante sur \mathbb{R}^{+*}.
Sens de variation de \dfrac1u
Soit u une fonction ne s'annulant pas sur I.
Les fonctions u et \dfrac1 u ont des sens de variation contraires sur I.
Soit f la fonction définie sur \left]-\dfrac53;+\infty\right[, à valeurs non nulles dans \left]-\dfrac53;+\infty\right[, par f\left(x\right)=3x+5. f est croissante sur \left]-\dfrac53;+\infty\right[.
La fonction g définie sur \left]-\dfrac53;+\infty\right[ par g\left(x\right)=\dfrac{1}{3x+5} est donc décroissante sur \left]-\dfrac53;+\infty\right[.
Le signe d'une fonction
Fonction positive
Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \geq 0
Fonction négative
Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \leq0
Les fonctions trigonométriques
Propriétés de parité et de périodicité d'une fonction
Fonctions paires et impaires : domaine de définition
Fonction paire
Soit f une fonction définie sur I. f est paire si et seulement si :
- I est centré en 0.
- Pour tout x\in I, f\left(-x\right)=f\left(x\right).
Soit la fonction f\left(x\right)=x^2 définie sur \mathbb{R}.
- \mathbb{R} est centré en 0.
- Pour tout réel x\in\mathbb{R}, f\left(-x\right)=\left(-x\right)^2=x^2=f\left(x\right).
La fonction f est donc paire.
Fonction impaire
Soit f une fonction définie sur I. f est impaire si et seulement si :
- I est centré en 0.
- Pour tout x\in I, f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
Soit la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^3.
- \mathbb{R} est centré en 0.
- Pour tout réel x\in\mathbb{R}, f\left(-x\right)=\left(-x\right)^3=-x^3=-f\left(x\right).
La fonction f est donc impaire.
Périodicité d'une fonction
Fonction périodique
Soit f une fonction définie sur I. Soit T un réel strictement positif.
f est périodique de période T (ou T-périodique) si et seulement si :
- Pour tout réel x tel que x\in I, on a également x+T\in I.
- Pour tout réel x appartenant à I, f\left(x+T\right)=f\left(x\right).
Soit la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\sin\left(x\right).
Pour tout réel x :
- Pour tout x\in \mathbb{R}, on a \left(x+2\pi\right)\in \mathbb{R}
- f\left(x+2\pi\right)=\sin\left(x+2\pi\right)=\sin\left(x\right)=f\left(x\right)
Donc la fonction f est périodique de période 2\pi.
La fonction sinus
Définition
Fonction sinus
La fonction sinus est définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = \sin\left(x\right)
- La fonction sinus est impaire.
- La fonction sinus est périodique de période 2\pi .
- Pour tout réel x, -1\leqslant \sin\left(x\right)\leqslant 1
- La fonction sinus est dérivable et continue sur \mathbb{R} et la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus.
Taux d'accroissement et limite
En reconnaissant le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0 :
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin\left(x\right)}{x} = \sin'\left(0\right) = \cos\left(0\right) = 1
La fonction cosinus
Définition
Fonction cosinus
La fonction cosinus est définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = \cos\left(x\right)
- La fonction cosinus est paire.
- La fonction cosinus est périodique de période 2\pi .
- Pour tout réel x, -1\leqslant \cos\left(x\right) \leqslant1
- La fonction cosinus est dérivable et continue sur \mathbb{R} et la dérivée de la fonction cosinus est l'opposé de la fonction sinus.