Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?

4|-2x+5|+1=4x-2

S=\left\{ -\dfrac{23}{12};-\dfrac{17}{4} \right\}

S=\left\{ \dfrac{23}{12};\dfrac{17}{4} \right\}

S=\left\{- \dfrac{12}{23};-\dfrac{4}{17} \right\}

S=\left\{ \dfrac{12}{23};\dfrac{4}{17} \right\}

On écrit tout d'abord |-2x+5| sans valeur absolue.

|-2x+5|=\begin{cases} -2x+5 \ \ \ \ \ \text{si} \ -2x+5 \geqslant 0 \cr \cr -\left(-2x+5\right) \ \ \text{si} \ -2x+5 \lt 0\end{cases}

|-2x+5|=\begin{cases} -2x+5 \ \ \ \ \ \text{si} \ -2x \geqslant -5 \cr \cr 2x-5 \ \ \text{si} \ -2x \lt-5\end{cases}

|-2x+5|=\begin{cases} -2x+5 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant \dfrac{5}{2} \cr \cr 2x-5 \ \ \text{si} \ x \gt\dfrac{5}{2}\end{cases}

Cas 1

x\in\left]-\infty;\dfrac{5}{2}\right]

Comme x\in\left]-\infty;\dfrac{5}{2}\right], alors |-2x+5|=-2x+5.

4|-2x+5|+1=4x-2

\Leftrightarrow4\left(-2x+5\right)+1=4x-2

\Leftrightarrow-8x+20+1=4x-2

\Leftrightarrow-12x=-23

\Leftrightarrow x=\dfrac{23}{12}

\dfrac{23}{12} est dans l'intervalle \left]-\infty;\dfrac{5}{2}\right], c'est donc une solution de l'équation.

Cas 2

x\in\left]\dfrac{5}{2};+\infty\right[

Comme x\in\left]\dfrac{5}{2};+\infty\right[, alors |-2x+5|=2x-5.

4|-2x+5|+1=4x-2

\Leftrightarrow4\left(2x-5\right)+1=4x-2

\Leftrightarrow8x-20+1=4x-2

\Leftrightarrow4x=17

\Leftrightarrow x=\dfrac{17}{4}

\dfrac{17}{4} est dans l'intervalle \left]\dfrac{5}{2};+\infty\right[, c'est donc une solution de l'équation.

S=\left\{ \dfrac{23}{12};\dfrac{17}{4} \right\}