Une expérience consiste à lancer deux dés équilibrés et à observer le produit des points obtenus.
Dans quelle proposition le tableau suivant est-il correctement complété ?
| Dés | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 | ||||||
| 5 | ||||||
| 6 |
Une issue de l'expérience correspond au produit du résultat du premier dé et du résultat du second.
Le tableau à double entrée suivant récapitule ainsi toutes les issues possibles de l'expérience.
| Dés | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |
Quel tableau représente correctement toutes les issues possibles et les probabilités correspondantes ?
Le tableau précédant compte 36 cases, ce qui signifie que l'expérience possède 36 issues équiprobables (car les dés sont équilibrés) distinctes.
Donc chacune des issues de l'expérience a la même probabilité : \dfrac{1}{36}.
- Il y a une seule case comportant le produit 1, donc sa probabilité est de \dfrac{1}{36}.
- Il y a deux cases comportant le produit 2, donc sa probabilité est de \dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}.
- Il y a deux cases comportant le produit 3, donc sa probabilité est de \dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}.
- Il y a trois cases comportant le produit 4, donc sa probabilité est de \dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}.
On procède de même pour toutes les autres sommes possibles.
On obtient donc le tableau suivant :
| Produit des dés | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 10 | 12 | 15 | 16 | 18 | 20 | 24 | 25 | 30 | 36 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité associée | \dfrac{1}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{3}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{4}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{1}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{4}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{1}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{1}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{1}{36} |
Calculer la probabilité de l'événement "obtenir un résultat multiple de 5".
Les multiples de 5 obtenus avec le produit des dés sont : 5, 10, 15, 20, 25 et 30.
Il y a équiprobabilité. On additionne donc les probabilités associées à chacun de ces produits :
\dfrac{2}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{2}{36}=\dfrac{11}{36}
La probabilité d'obtenir un multiple de 5 est donc \dfrac{11}{36}.