Après avoir misé 2 euros, un joueur tire au hasard une boule dans une urne, contenant 15 boules indiscernables au toucher, donc 4 blanches, 2 noires, 3 vertes, 2 jaunes et 4 rouges.
- Si le joueur tire une boule blanche, il gagne 3 euros.
- Si le joueur tire une boule noire, il perd 2 euros.
- Si le joueur tire une boule verte, il gagne 1 euro.
- Si le joueur tire une boule jaune, il gagne 2 euros.
- Si le joueur tire une boule rouge, il ne gagne rien.
On appelle X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Quelle est la loi de X ?
Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
On cherche tout d'abord les valeurs possibles de X.
D'après l'énoncé on sait que le joueur mise 2 euros. X peut donc valoir :
- 3-2=1, si le joueur tire une boule blanche.
- -2-2=-4, si le joueur tire une boule noire.
- 1-2=-1, si le joueur tire une boule verte.
- 2-2=0, si le joueur tire une boule jaune.
- 0-2=-2, si le joueur tire une boule rouge.
On cherche à présent les probabilités de p\left(X=1\right),\;p\left(X=-4\right),\;p\left(X=-1\right),\;p\left(X=0\right) et p\left(X=-2\right).
On sait que l'urne est constituée de 15 boules indiscernables au toucher.
Le joueur gagne 1 euro s'il tire une boule blanche. Il y a 4 boules blanches dans l'urne.
La probabilité de tirer une boule blanche est donc de \cfrac{4}{15}. Donc :
- p\left(X=1\right)=\cfrac{4}{15}
Le joueur perd 4 euros, si il tire une boule noire. Il y a 2 boules noires dans l'urne.
La probabilité de tirer une boule noire est donc de \cfrac{2}{15}. Donc :
- p\left(X=-4\right)=\cfrac{2}{15}
Le joueur perd 1 euro s'il tire une boule verte. Il y a 3 boules vertes dans l'urne.
La probabilité de tirer une boule verte est donc de \cfrac{3}{15}. Donc :
- p\left(X=-1\right)=\cfrac{3}{15}
Le joueur ne gagne rien s'il tire une boule jaune. Il y a 2 boules jaunes dans l'urne.
La probabilité de tirer une boule jaune est donc de \cfrac{2}{15}. Donc :
- p\left(X=0\right)=\cfrac{2}{15}
Le joueur perd 2 euros s'il tire une boule rouge. Il y a 4 boules rouges dans l'urne.
La probabilité de tirer une boule rouge est donc de \cfrac{4}{15}. Donc :
- p\left(X=-2\right)=\cfrac{4}{15}
À présent, on peut déterminer la loi de de probabilité de X grâce au tableau ci-dessous.
| x_i | -4 | -2 | -1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| p\left(X=x_i\right) | \cfrac{2}{15} | \cfrac{4}{15} | \cfrac{3}{15} | \cfrac{2}{15} | \cfrac{4}{15} |
Le jeu est-il équitable ?
Pour savoir si le jeu est équitable ou non, on doit calculer l'espérance de X.
D'après le cours, on sait que l'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule suivante :
E\left(X\right)=\sum x_ip\left(X=x_i\right), donc d'après la question précédente :
E\left(X\right)=-4\times p\left(X=-4\right)-2\times p\left(X=-2\right)-1\times p\left(X=-1\right)+0\times p\left(X=0\right)+1\times p\left(X=1\right)
E\left(X\right)=-4\times\cfrac{2}{15}-2\times\cfrac{4}{15}-\cfrac{3}{15}+1\times \cfrac{4}{15}
E\left(X\right)=-\cfrac{8}{15}-\cfrac{8}{15}-\cfrac{3}{15}+ \cfrac{4}{15}
E\left(X\right)=-\cfrac{15}{15}
E\left(X\right)=-1
On a donc :
E\left(X\right) \lt 0
Or, le jeu est équitable si l'espérance de X est nulle.
Pour ce jeu, on a une espérance négative, le jeu est donc défavorable au joueur.
- Le jeu n'est donc pas équitable.
Comment rendre le jeu équitable en modifiant la mise ?
Pour avoir le jeu équitable, il faut trouver l'espérance de X nulle.
Or, ici E\left(X\right)=-1
Il faut donc enlever 1 euro à la mise de départ.
Soit une nouvelle mise de départ de 1 euro car 2-1=1
Avec cette nouvelle mise de départ, on obtient :
E\left(X\right)=-1+1=0
En moyenne le joueur ne perdra pas d'argent et n'en gagnera pas.
- Il faut donc une mise de départ de 1 euro pour que le jeu soit équitable.