Mesure de la masse de Jupiter et du Soleil, centres étrangers 2022 Exercice type bac

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Dernière modification : 12/05/2025 - Conforme au programme 2025-2026

En 1610, Galilée a été le premier à observer les quatre principaux satellites de Jupiter (Io, Europe, Ganymède et Callisto) en utilisant une lunette astronomique qu'il avait lui-même fabriquée.

Les lunettes de Galilée (musée de Florence)

À la suite de Galilée, les observations de ces quatre satellites ont permis de réaliser les mesures regroupées dans le tableau ci-dessous :

Satellite	Période de révolution T en jours (j)	Demi-grand axe a de la trajectoire elliptique (\times 10^5 \text{ km})
Io	1,75	4,22
Europe	3,55	6,71
Ganymède	7,16	10,7
Callisto	16,7	18,8

À l'aide d'un tableur, on a positionné les mesures dans un graphique donnant les variations de T^2 en fonction de celles de a^3 pour les quatre satellites de Jupiter. Le tableur permet de superposer à ces points de mesure une modélisation par une droite (cf. figure 1 ci-dessous).

$Figure 1. $\displaystyle{T^2}$ en fonction de $\displaystyle{a^3}$$

Figure 1. T^2 en fonction de a^3

Donnée : Constante de gravitation universelle G=6{,}67.10^{-11} \text{ m}^{3}\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}

Exploitation des résultats expérimentaux

À partir des résultats expérimentaux (figure 1), quelle relation existe entre T² et a³ pour les quatre satellites de Jupiter et quel est le nom de la loi correspondante (établie en 1618) ?

T^2 est proportionnelle à a^3, ce qui correspond à la 3^e loi de Kepler.

T^2 est inversement proportionnelle à a^3, ce qui correspond à la 2^e loi de Kepler.

a^3 est proportionnelle à T^2, ce qui correspond à la 2^e loi de Galilée.

a^3 est inversement proportionnelle à T^2, ce qui correspond à la 2^e loi de Galilée.

La courbe représentative de T^2 en fonction de a^3 a l'allure d'une droite passant par l'origine, que l'on peut modéliser par une fonction linéaire d'équation T^2 = k \times a^3.

Ainsi, on vérifie que T^2 est proportionnelle à a^3, ce qui correspond à la 3^e loi de Kepler :
\dfrac{T^2}{a^3}=k

Modélisation du mouvement d'un satellite de Jupiter

On se place dans le cadre théorique de la mécanique de Newton (publiée en 1687) pour retrouver la relation évoquée dans la question 1 et déterminer la masse M_J de Jupiter. On étudie le mouvement du satellite dans le référentiel joviocentrique (centré sur Jupiter), supposé galiléen. On fait l'approximation que le mouvement du centre S du satellite est circulaire, centré sur le centre J de Jupiter, et on considère que la seule force qui s'applique sur le satellite est la force de gravitation \overrightarrow{F_{J/S}} exercée par Jupiter sur le satellite.

On désigne par r la distance entre les centres des deux astres, par M_J la masse de Jupiter et par m la masse du satellite.

Figure 2.

Quelle est l'expression de la force de gravitation \overrightarrow{F_{J/S}} exercée par Jupiter sur le satellite en fonction de M_J, m, G, r et \overrightarrow{n}.

\overrightarrow{F_{J/S}} = G \times \dfrac{m \times M_J}{r^2} \overrightarrow{n}

\overrightarrow{F_{J/S}} = G_n \times \dfrac{m \times M_J}{r} \overrightarrow{n}

\overrightarrow{F_{J/S}} = G \times \dfrac{m \times M_J}{r^2}

\overrightarrow{F_{J/S}} = G_n \times \dfrac{m \times M_J^2}{r}

D'après la loi d'attraction gravitationnelle de Newton, l'expression de la force de gravitation est :
\overrightarrow{F_{J/S}} = G \times \dfrac{m \times M_J}{r^2} \overrightarrow{n}

Dans quelle proposition applique-t-on correctement la deuxième loi de Newton et, par déduction, quelle est l'expression de la vitesse v du satellite en fonction de G, M_J et r ?

m\times(\dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{t}+\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{n})=G \times\dfrac{m \times M_\text{J}}{r^2} \; \overrightarrow{n} \\\\\Leftrightarrow v = \dfrac{G.M_J }{r}

m\times(\dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{n}+\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{t})=G \times\dfrac{m \times M_\text{J}}{r^2} \; \overrightarrow{n} \\\\\Leftrightarrow v = \dfrac{G.M_J }{r^2}

m\times(\dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{t}n\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{t})=G \times\dfrac{m \times M_\text{J}}{r^2} \; \overrightarrow{n} \\\\\Leftrightarrow v = \sqrt{\dfrac{G.M_J }{r^2}}

m\times(\dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{t}+\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{n})=G \times\dfrac{m \times M_\text{J}}{r^2} \; \overrightarrow{n} \\\\\Leftrightarrow v = \sqrt{\dfrac{G.M_J }{r}}

La deuxième loi de Newton appliquée au satellite dans le référentiel lié au centre de Jupiter et dans le repère (S; \overrightarrow{t};\overrightarrow{n}) donne :
m \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F_\text{J/S}}

Soit :
m\times(\overrightarrow{a_T}+\overrightarrow{a_N})=G \times\dfrac{m \times M_\text{J}}{r^2} \; \overrightarrow{n}

D'où :
a_T . \overrightarrow{t}+a_N.\overrightarrow{n}=G \times\dfrac{M_\text{J}}{r^2} \; \overrightarrow{n}

Les composantes du vecteur accélération de la Lune sont donc :

a_T= 0
a_N =G \times\dfrac{M_\text{J}}{r^2}

Et puisque les composantes du vecteur accélération dans le repère mobile sont :

a_T= \dfrac{dv}{dt}
a_N =\dfrac{v^2}{r}

On a donc :

a_T= \dfrac{dv}{dt} = 0
a_N =\dfrac{v^2}{r}= G \times\dfrac{M_\text{J}}{r^2}

La dernière relation \dfrac{v^2}{r}= G \times\dfrac{M_\text{J}}{r^2} permet d'isoler la vitesse du satellite :
v^2= G \times\dfrac{M_\text{J}}{r}

Soit :
v = \sqrt{\dfrac{G.M_J }{r}}

Dans quelle proposition en déduit-on correctement que, dans le cadre de l'approximation du mouvement circulaire, le quotient \dfrac{T^2}{r^3} est égal à \dfrac{4\pi^2}{G.M_J} ?

La vitesse du satellite peut s'écrire v = \dfrac{r}{2\pi T} et aussi v = \sqrt{\frac{G \times M_J }{r} }, d'où \dfrac{r^2}{4\pi^2 T^2} = \frac{G \times M_J }{r} et finalement \dfrac{{T^2}}{ r^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_J } .

La vitesse du satellite peut s'écrire v = \dfrac{2\pi r}{T} et aussi v = \sqrt{\frac{G \times M_J }{r} }, d'où \dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G \times M_J }{r} et finalement \dfrac{{T^2}}{ r^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_J }.

La vitesse du satellite peut s'écrire v = \dfrac{2\pi T}{r} et aussi v = \sqrt{\frac{G \times M_J }{r} }, d'où \dfrac{4\pi^2 T^2}{r^2} = \frac{G \times M_J}{r} et finalement \dfrac{{T^2}}{ r^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_J }.

La vitesse du satellite peut s'écrire v = \dfrac{T}{2\pi r} et aussi v = \sqrt{\frac{G \times M_J }{r} }, d'où \dfrac{T^2}{4\pi^2 r^2} = \frac{G \times M_J }{r} et finalement \dfrac{{T^2}}{ r^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_J }.

La période de révolution T d'un satellite correspond à la durée qu'il met pour effectuer un tour complet autour du centre de Jupiter éloigné d'une distance r (égale au rayon de l'orbite). Pendant la durée T, le satellite parcourt donc une distance égale à la circonférence de son orbite circulaire, soit 2 \pi r. Sa vitesse peut donc aussi s'écrire ainsi :
v = \dfrac{2\pi r}{T}

Cette expression est égale à l'expression précédente de la vitesse du satellite, on a donc :
v = \dfrac{2\pi r}{T} = \sqrt{\frac{G \times M_J }{r} }

Pour isoler la période de révolution T, on élève les deux termes au carré :
\dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G \times M_J }{r}

Ce qui donne :
T^2 = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G \times M_J }

Et finalement :
\dfrac{{T^2}}{ r^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_J }

D'après les résultats expérimentaux, quelle est la valeur de la masse M_J de Jupiter ?

Aide éventuelle : 1 \text{ j}^2 \text{km}^{-3} = 7{,}46 \text{ s}^2 \text{m}^{-3}

Le coefficient directeur de la droite T^2=f(a^3) est k=\frac{G \times M_J } {4\pi^2} et k=4{,}2.10^{-17} \text{ j}^2 \text{km}^{-3}=4{,}2.10^{-17} \times 7{,}46 = 3{,}1.10^{-16} \text{ s}^2 \text{m}^{-3}.

D'où :
M_J = \frac{G \times k}{4\pi^2 } =\frac{6{,}67.10^{-11} \times 3{,}1.10^{-16} }{4\pi^2} =1{,}9.10^{27} \text{ kg}

Le coefficient directeur de la droite T^2=f(a^3) est k=\frac{4\pi^2}{G \times M_J } et k=4{,}2.10^{-17} \text{ j}^2 \text{km}^{-3}=4{,}2.10^{-17} \times 7{,}46 = 3{,}1.10^{-16} \text{ s}^2 \text{m}^{-3}.
D'où :
M_J = \frac{4\pi^2 }{G \times k} =\frac{4\pi^2}{6{,}67.10^{-11} \times 3{,}1.10^{-16} } =1{,}9.10^{27} \text{ kg}

Le coefficient directeur de la droite T^2=f(a^3) est k=\frac{4\pi^2}{G \times M_J } et k=2{,}4.10^{-17} \text{ j}^2 \text{km}^3=2{,}4.10^{-17} \times 7{,}46 = 1{,}3.10^{-16} \text{ s}^2 \text{m}^3.

D'où :
M_J = \frac{4\pi^2 }{G \times k} =\frac{4\pi^2}{6{,}67.10^{-11} \times 1{,}3.10^{-16} } =9{,}1.10^{27} \text{ kg}

Le coefficient directeur de la droite T^2=f(a^3) est k=\frac{G \times M_J } {4\pi^2} et k=2{,}4.10^{-17} \text{ j}^2 \text{km}^{-3}=2{,}4.10^{-17} \times 7{,}46 = 1{,}3.10^{-16} \text{ s}^2 \text{m}^{-3}.

D'où :
M_J = \frac{G \times k}{4\pi^2 } =\frac{6{,}67.10^{-11} \times 1{,}3.10^{-16} }{4\pi^2} =9{,}1.10^{27} \text{ kg}

En notant le rayon de l'orbite a, la réponse précédente permet d'établir l'expression suivante :
\dfrac{{T^2}}{ a^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_J }

Ainsi, le coefficient directeur k de la droite T^2=f(a^3) est égal au rapport \frac{4\pi^2}{G \times M_J } :
k=\frac{4\pi^2}{G \times M_J }

Et connaître ce rapport permet d'isoler et déterminer la masse de Jupiter M_J :
M_J = \frac{4\pi^2 }{G \times k}

Il faut donc commencer par calculer le coefficient directeur k :

Sur la droite, on repère les points A(0;0) et B(0{,}50;210.10^{19}).

Le coefficient directeur est alors égal à :
k=\dfrac{T^2_{(B)}-T^2_{(A)}}{a^3_{(B)}-a^3_{(A)}}
k=\dfrac{210-0}{0{,}50.10^{19}-0}
k=4{,}2.10^{-17} \text{ j}^2 \text{km}^3

Soit, puisque 1 \text{ j}^2 \text{km}^{-3} = 7{,}46 \text{ s}^2 \text{m}^{-3} :
k=4{,}2.10^{-17} \times 7{,}46 = 3{,}1.10^{-16} \text{ s}^2 \text{m}^3

Ainsi :
M_J=\frac{4\pi^2}{6{,}67.10^{-11} \times 3{,}1.10^{-16} }
M_J=1{,}9.10^{27} \text{ kg}

La relation établie à la question 5 pour le système composé de Jupiter et de ses satellites est universelle et est applicable à d'autres systèmes constitués de satellites en orbite autour d'un astre central.

Donnée : la distance entre la Terre et le Soleil est de 150 millions de kilomètres.

Quelle est la masse du Soleil ?

M_S = \frac{4\pi^2 \times a^3 }{G \times T^2 } = \frac{4\pi^2 \times (150 .10^6)^3 }{6{,}67 .10^{-11} \times (365{,}25 \times 24 \times 3 \ 600)^2 } = 2{,}01 .10^{27} \text{ kg}

M_S = \frac{G \times T^2 }{4\pi^2 \times a^3 } = \frac{6{,}67 .10^{-11} \times (365{,}25 \times 24 \times 3 \ 600)^2 }{4\pi^2 \times (150 .10^6)^3 } = 2{,}01 .10^{27} \text{ kg}

M_S = \frac{4\pi^2 \times a^3 }{G \times T^2 } = \frac{4\pi^2 \times (150 .10^9)^3 }{6{,}67 .10^{-11} \times (365{,}25 \times 24 \times 3 \ 600)^2 } = 2{,}01 .10^{30} \text{ kg}

M_S = \frac{G \times T^2 }{4\pi^2 \times a^3 } = \frac{6{,}67 .10^{-11} \times (365{,}25 \times 24 \times 3 \ 600)^2 }{4\pi^2 \times (150 .10^9)^3 } = 2{,}01 .10^{30} \text{ kg}

De la même manière que précédemment, d'après la 3^e loi de Kepler, pour tous les objets en orbite autour du Soleil on a :
\dfrac{{T^2}}{ a^3} = k, avec : k= \frac{4\pi^2}{G \times M_S }

D'où :
\dfrac{{T^2}}{ a^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_S }

Ce qui permet d'isoler l'expression de la masse du Soleil :
M_S = \frac{4\pi^2 \times a^3 }{G \times T^2 }

Or, on sait que pour la Terre :

La période de révolution est :
T = 365{,}25 \text{ j} = 365{,}25 \times 24 \times 3 \ 600 \text{ s}
Le rayon de l'orbite est :
r=a = 150.10^6 \text{ km} = 150 .10^9 \text{ m}

D'où l'application numérique :
M_S = \frac{4\pi^2 \times (150 .10^9)^3 }{6{,}67 .10^{-11} \times (365{,}25 \times 24 \times 3 \ 600)^2 }
M_S = 2{,}01 .10^{30} \text{ kg}