En 1610, Galilée a été le premier à observer les quatre principaux satellites de Jupiter (Io, Europe, Ganymède et Callisto) en utilisant une lunette astronomique qu'il avait lui-même fabriquée.

Les lunettes de Galilée (musée de Florence)
À la suite de Galilée, les observations de ces quatre satellites ont permis de réaliser les mesures regroupées dans le tableau ci-dessous :
Satellite | Période de révolution T en jours (j) | Demi-grand axe a de la trajectoire elliptique (\times 10^5 \text{ km}) |
Io | 1,75 | 4,22 |
Europe | 3,55 | 6,71 |
Ganymède | 7,16 | 10,7 |
Callisto | 16,7 | 18,8 |
À l'aide d'un tableur, on a positionné les mesures dans un graphique donnant les variations de T^2 en fonction de celles de a^3 pour les quatre satellites de Jupiter. Le tableur permet de superposer à ces points de mesure une modélisation par une droite (cf. figure 1 ci-dessous).

Figure 1. T^2 en fonction de a^3
Donnée : Constante de gravitation universelle G=6{,}67.10^{-11} \text{ m}^{3}\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}
Exploitation des résultats expérimentaux
À partir des résultats expérimentaux (figure 1), quelle relation existe entre T2 et a3 pour les quatre satellites de Jupiter et quel est le nom de la loi correspondante (établie en 1618) ?
La courbe représentative de T^2 en fonction de a^3 a l'allure d'une droite passant par l'origine, que l'on peut modéliser par une fonction linéaire d'équation T^2 = k \times a^3.
Ainsi, on vérifie que T^2 est proportionnelle à a^3, ce qui correspond à la 3e loi de Kepler :
\dfrac{T^2}{a^3}=k
Modélisation du mouvement d'un satellite de Jupiter
On se place dans le cadre théorique de la mécanique de Newton (publiée en 1687) pour retrouver la relation évoquée dans la question 1 et déterminer la masse M_J de Jupiter. On étudie le mouvement du satellite dans le référentiel joviocentrique (centré sur Jupiter), supposé galiléen. On fait l'approximation que le mouvement du centre S du satellite est circulaire, centré sur le centre J de Jupiter, et on considère que la seule force qui s'applique sur le satellite est la force de gravitation \overrightarrow{F_{J/S}} exercée par Jupiter sur le satellite.
On désigne par r la distance entre les centres des deux astres, par M_J la masse de Jupiter et par m la masse du satellite.

Figure 2.
Quelle est l'expression de la force de gravitation \overrightarrow{F_{J/S}} exercée par Jupiter sur le satellite en fonction de M_J, m, G, r et \overrightarrow{n}.
D'après la loi d'attraction gravitationnelle de Newton, l'expression de la force de gravitation est :
\overrightarrow{F_{J/S}} = G \times \dfrac{m \times M_J}{r^2} \overrightarrow{n}
Dans quelle proposition applique-t-on correctement la deuxième loi de Newton et, par déduction, quelle est l'expression de la vitesse v du satellite en fonction de G, M_J et r ?
La deuxième loi de Newton appliquée au satellite dans le référentiel lié au centre de Jupiter et dans le repère (S; \overrightarrow{t};\overrightarrow{n}) donne :
m \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F_\text{J/S}}
Soit :
m\times(\overrightarrow{a_T}+\overrightarrow{a_N})=G \times\dfrac{m \times M_\text{J}}{r^2} \; \overrightarrow{n}
D'où :
a_T . \overrightarrow{t}+a_N.\overrightarrow{n}=G \times\dfrac{M_\text{J}}{r^2} \; \overrightarrow{n}
Les composantes du vecteur accélération de la Lune sont donc :
- a_T= 0
- a_N =G \times\dfrac{M_\text{J}}{r^2}
Et puisque les composantes du vecteur accélération dans le repère mobile sont :
- a_T= \dfrac{dv}{dt}
- a_N =\dfrac{v^2}{r}
On a donc :
- a_T= \dfrac{dv}{dt} = 0
- a_N =\dfrac{v^2}{r}= G \times\dfrac{M_\text{J}}{r^2}
La dernière relation \dfrac{v^2}{r}= G \times\dfrac{M_\text{J}}{r^2} permet d'isoler la vitesse du satellite :
v^2= G \times\dfrac{M_\text{J}}{r}
Soit :
v = \sqrt{\dfrac{G.M_J }{r}}
Dans quelle proposition en déduit-on correctement que, dans le cadre de l'approximation du mouvement circulaire, le quotient \dfrac{T^2}{r^3} est égal à \dfrac{4\pi^2}{G.M_J} ?
La période de révolution T d'un satellite correspond à la durée qu'il met pour effectuer un tour complet autour du centre de Jupiter éloigné d'une distance r (égale au rayon de l'orbite). Pendant la durée T, le satellite parcourt donc une distance égale à la circonférence de son orbite circulaire, soit 2 \pi r. Sa vitesse peut donc aussi s'écrire ainsi :
v = \dfrac{2\pi r}{T}
Cette expression est égale à l'expression précédente de la vitesse du satellite, on a donc :
v = \dfrac{2\pi r}{T} = \sqrt{\frac{G \times M_J }{r} }
Pour isoler la période de révolution T, on élève les deux termes au carré :
\dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G \times M_J }{r}
Ce qui donne :
T^2 = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G \times M_J }
Et finalement :
\dfrac{{T^2}}{ r^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_J }
D'après les résultats expérimentaux, quelle est la valeur de la masse M_J de Jupiter ?
Aide éventuelle : 1 \text{ j}^2 \text{km}^{-3} = 7{,}46 \text{ s}^2 \text{m}^{-3}
En notant le rayon de l'orbite a, la réponse précédente permet d'établir l'expression suivante :
\dfrac{{T^2}}{ a^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_J }
Ainsi, le coefficient directeur k de la droite T^2=f(a^3) est égal au rapport \frac{4\pi^2}{G \times M_J } :
k=\frac{4\pi^2}{G \times M_J }
Et connaître ce rapport permet d'isoler et déterminer la masse de Jupiter M_J :
M_J = \frac{4\pi^2 }{G \times k}
Il faut donc commencer par calculer le coefficient directeur k :

Sur la droite, on repère les points A(0;0) et B(0{,}50;210.10^{19}).
Le coefficient directeur est alors égal à :
k=\dfrac{T^2_{(B)}-T^2_{(A)}}{a^3_{(B)}-a^3_{(A)}}
k=\dfrac{210-0}{0{,}50.10^{19}-0}
k=4{,}2.10^{-17} \text{ j}^2 \text{km}^3
Soit, puisque 1 \text{ j}^2 \text{km}^{-3} = 7{,}46 \text{ s}^2 \text{m}^{-3} :
k=4{,}2.10^{-17} \times 7{,}46 = 3{,}1.10^{-16} \text{ s}^2 \text{m}^3
Ainsi :
M_J=\frac{4\pi^2}{6{,}67.10^{-11} \times 3{,}1.10^{-16} }
M_J=1{,}9.10^{27} \text{ kg}
La relation établie à la question 5 pour le système composé de Jupiter et de ses satellites est universelle et est applicable à d'autres systèmes constitués de satellites en orbite autour d'un astre central.
Donnée : la distance entre la Terre et le Soleil est de 150 millions de kilomètres.
Quelle est la masse du Soleil ?
De la même manière que précédemment, d'après la 3e loi de Kepler, pour tous les objets en orbite autour du Soleil on a :
\dfrac{{T^2}}{ a^3} = k, avec : k= \frac{4\pi^2}{G \times M_S }
D'où :
\dfrac{{T^2}}{ a^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_S }
Ce qui permet d'isoler l'expression de la masse du Soleil :
M_S = \frac{4\pi^2 \times a^3 }{G \times T^2 }
Or, on sait que pour la Terre :
- La période de révolution est :
T = 365{,}25 \text{ j} = 365{,}25 \times 24 \times 3 \ 600 \text{ s} - Le rayon de l'orbite est :
r=a = 150.10^6 \text{ km} = 150 .10^9 \text{ m}
D'où l'application numérique :
M_S = \frac{4\pi^2 \times (150 .10^9)^3 }{6{,}67 .10^{-11} \times (365{,}25 \times 24 \times 3 \ 600)^2 }
M_S = 2{,}01 .10^{30} \text{ kg}