On se propose de démontrer la troisième loi de Kepler dans le cas d'un mouvement circulaire. Pour ce faire, on considère un corps de masse m en orbite circulaire autour d'un astre A de masse M. On étudie le mouvement dans le repère mobile :

Données : constante universelle de gravitation : G= 6{,}67.10^{-11} \text{ m}^3.\text{kg}^{-1}
Quelle est l'expression de la force \overrightarrow{F} exercée par le corps S sur le corps M ?
Le corps S de masse M exerce une force d'attraction gravitationnelle sur le corps P de masse m dont l'expression est comme suit :
\overrightarrow{F_{S/P}}= - \overrightarrow{F_{P/S}}= - G\times \dfrac{m_S\times m_P}{r^2}\overrightarrow{u_{SP}}
Ainsi :
\overrightarrow{F_{}}= - G\times \dfrac{M\times m}{R^2}\overrightarrow{u_{}}
D'après la seconde loi de Newton, quelle est l'expression de la vitesse du corps P ?
On se place dans le référentiel de Fresnel attaché au corps P que l'on suppose galiléen.
Dans ce référentiel, on a :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_T =m\times \dfrac{dv}{dt} \cr \cr a_U = - m\times \dfrac{v^2}{R} \end{cases} et \overrightarrow{F}\begin{cases} F_T =0 \cr \cr F_U = - \dfrac{G\times m \times M_T}{r^2} \end{cases}
En appliquant la seconde loi de Newton, on obtient donc :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_T =m\times \dfrac{dv}{dt} = 0 \cr \cr a_N =m\times \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{G\times m\times M}{R^2} \end{cases}
Ainsi :
v = \sqrt{\dfrac{G\times M}{R}}
Quelle est l'expression de la vitesse du corps P en fonction de R et T, la période de révolution de P autour de S ?
On peut définir la vitesse du corps P comme le quotient de la distance parcourue pendant une période sur la durée d'une période, c'est-à-dire le quotient du périmètre du cercle de rayon R et de la période T.
Ainsi :
v = \dfrac{2\pi R}{T}
D'après la troisième loi de Kepler : \dfrac{T^2}{R^3} = \text{constante}.
Quelle est cette constante ?
D'après les deux questions précédentes, on a :
\dfrac{2\pi\times R}{T} = \sqrt{\dfrac{G\times M}{R}}
Soit :
\dfrac{4\pi^2\times R^2}{T^2} = {\dfrac{G\times M}{R}}
D'où :
\dfrac{T^2}{R^3} = {\dfrac{4\pi^2}{G\times M}}
La constante vaut donc :
{\dfrac{4\pi^2}{G\times M}}