Quelle est l'expression de la force \overrightarrow{F} exercée par le corps S sur le corps M ?

\overrightarrow{F_{}}= - G\times \dfrac{M\times m}{R^2}\overrightarrow{u_{}}

\overrightarrow{F_{}}= G\times \dfrac{M\times m}{R^2}\overrightarrow{u_{}}

\overrightarrow{F_{}}= G\times \dfrac{M\times m}{R^2}\overrightarrow{t_{}}

\overrightarrow{F_{}}= - G\times \dfrac{M\times m}{R^2}\overrightarrow{t_{}}

Le corps S de masse M exerce une force d'attraction gravitationnelle sur le corps P de masse m dont l'expression est comme suit :
\overrightarrow{F_{S/P}}= - \overrightarrow{F_{P/S}}= - G\times \dfrac{m_S\times m_P}{r^2}\overrightarrow{u_{SP}}

Ainsi :
\overrightarrow{F_{}}= - G\times \dfrac{M\times m}{R^2}\overrightarrow{u_{}}

D'après la seconde loi de Newton, quelle est l'expression de la vitesse du corps P ?

v = \sqrt{\dfrac{2\times G\times M}{R}}

v = \sqrt{\dfrac{2\pi \times G\times M}{R}}

v = \sqrt{\dfrac{G\times M}{R}}

v = \sqrt{\dfrac{G\times M}{R^2}}

On se place dans le référentiel de Fresnel attaché au corps P que l'on suppose galiléen.

Dans ce référentiel, on a :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_T =m\times \dfrac{dv}{dt} \cr \cr a_U = - m\times \dfrac{v^2}{R} \end{cases} et \overrightarrow{F}\begin{cases} F_T =0 \cr \cr F_U = - \dfrac{G\times m \times M_T}{r^2} \end{cases}

En appliquant la seconde loi de Newton, on obtient donc :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_T =m\times \dfrac{dv}{dt} = 0 \cr \cr a_N =m\times \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{G\times m\times M}{R^2} \end{cases}

Ainsi :
v = \sqrt{\dfrac{G\times M}{R}}

Quelle est l'expression de la vitesse du corps P en fonction de R et T, la période de révolution de P autour de S ?

v = \dfrac{2\pi R}{T^3}

v = \dfrac{2\pi R}{T^2}

v = \dfrac{2\pi R}{T}

v = \dfrac{2\pi R^2}{T}

On peut définir la vitesse du corps P comme le quotient de la distance parcourue pendant une période sur la durée d'une période, c'est-à-dire le quotient du périmètre du cercle de rayon R et de la période T.

Ainsi :
v = \dfrac{2\pi R}{T}

D'après la troisième loi de Kepler : \dfrac{T^2}{R^3} = \text{constante}.

Quelle est cette constante ?

{\dfrac{2\pi}{G\times M}}

{\dfrac{4\pi^2}{G\times M}}

{\dfrac{4\pi^2}{G^2\times M^2}}

{\dfrac{4\pi^2}{\sqrt{G\times M}}}

D'après les deux questions précédentes, on a :
\dfrac{2\pi\times R}{T} = \sqrt{\dfrac{G\times M}{R}}

Soit :
\dfrac{4\pi^2\times R^2}{T^2} = {\dfrac{G\times M}{R}}

D'où :
\dfrac{T^2}{R^3} = {\dfrac{4\pi^2}{G\times M}}

La constante vaut donc :
{\dfrac{4\pi^2}{G\times M}}