La deuxième loi de Newton appliquée à un corps en orbite circulaire autour d'un astre permet de déterminer l'expression de sa vitesse en fonction de la constante universelle de la gravitation, de la masse de l'astre et du rayon de l'orbite.
On considère un corps en orbite circulaire autour d'un astre. Déterminer l'expression de sa vitesse en fonction de la constante universelle de la gravitation G, de la masse de l'astre M_A et du rayon de l'orbite r.
Exprimer vectoriellement la force d'attraction gravitationnelle subie par le corps
On exprime vectoriellement la force d'attraction gravitationnelle subie par le corps.
La force d'attraction gravitationnelle subie par le corps est colinéaire au vecteur \overrightarrow{u_N} :
L'expression vectorielle de force d'attraction gravitationnelle subie par le corps est donc la suivante :
\overrightarrow{F_{A/C}}= G\times \dfrac{M_A\times M_C}{r^2}\overrightarrow{u_{N}}
Où :
- M_A et M_C sont les masses respectives de l'astre et du corps en orbite
- r est le rayon de l'orbite circulaire
Rappeler les composantes du vecteur accélération dans le repère mobile
On rappelle les composantes du vecteur accélération dans le repère mobile.
Dans le repère mobile \left(C, \overrightarrow{u_N}, \overrightarrow{u_T} \right) les composantes du vecteur accélération \overrightarrow{a} du corps mobile M sont :
\overrightarrow{a} \begin{cases} a_T = \dfrac{dv}{dt} \cr \cr a_N = \dfrac{v²}{r}\end{cases}
Appliquer la deuxième loi de Newton
On applique la deuxième loi de Newton au corps en orbite afin de déterminer les composantes de son vecteur accélération.
On applique la deuxième loi de Newton au corps en orbite dans le repère mobile :
\sum_{}^{} \overrightarrow{F_{ext}} = M_C \times \overrightarrow{a}
M_C \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F_{A/C}}= G\times\dfrac{M_A \times M_C}{r^2} \overrightarrow{u_{N}}
\overrightarrow{a} = G\times\dfrac{M_A }{r^2} \overrightarrow{u_{N}}
Soit :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_T = \dfrac{dv}{dt} = 0 \cr \cr a_N = \dfrac{v^2}{r} = G\times\dfrac{M_A }{r^2} \end{cases}
En déduire que l'expression de la vitesse du corps
En se référant à la valeur de la composante normale de l'accélération, on détermine l'expression de la vitesse du corps.
En se référant à la composante normale de l'accélération, on obtient :
a_N = \dfrac{v^2}{r} = G\times\dfrac{M_A }{r^2}
On peut alors isoler l'expression de la vitesse du corps :
v = \sqrt{G\times\dfrac{M_A }{r}}