Déterminer une température d'équilibre lors d'un transfert d'énergie entre deux corps - 1S - Méthode Physique-Chimie

Le principe de conservation de l'énergie permet de déterminer la température atteinte par un ensemble de plusieurs corps, initialement à des températures différentes, lorsqu'ils sont en équilibre thermique.

On plonge un bloc d'aluminium (noté A) de masse 125 g à la température initiale de 100°C dans un calorimètre contenant 350 g d'eau (notée E) à la température initiale de 18,2°C. Déterminer la température finale de l'ensemble {calorimètre + eau + aluminium}, connaissant les capacités calorifiques :

De l'eau : c_E = 4{,}185 \times 10^3 J.kg^-1.K^-1
De l'aluminium : c_A = 897 J.kg^-1.K^-1

On négligera la capacité calorifique du calorimètre.

Etape 1

Appliquer le principe de conservation de l'énergie

On applique le principe de conservation de l'énergie dans un système isolé : la somme des énergies échangées au sein d'un système isolé est nulle.

D'après le principe de conservation de l'énergie, il existe :

Des énergies thermiques échangées positives (Q > 0 J) : c'est le cas lorsque le corps considéré reçoit de l'énergie thermique (ou chaleur).
Des énergies thermiques échangées négatives (Q < 0 J) : c'est le cas lorsque le corps considéré cède de l'énergie thermique (ou chaleur).

Le corps le plus chaud cède toujours de l'énergie au profit du corps le plus froid.

Ici, le bloc d'aluminium est plus chaud que l'eau, donc :

Le bloc d'aluminium cède une partie de son énergie à l'eau, on a donc Q_A < 0 J.
L'eau reçoit de l'énergie provenant du bloc d'aluminium, on a donc Q_E > 0 J.

Le calorimètre étant un système isolé, la somme des énergies échangées en son sein est nulle. On a donc :

Q_A + Q_E = 0 J

Etape 2

En déduire la relation liant les températures initiales et finales des corps

On en déduit la relation liant les températures initiales et finales des corps, sachant que l'énergie thermique Q échangée par un corps a pour expression : Q = m \times c \times \left( T_{finale} - T_{initiale}\right), avec :

m : masse du corps
c : capacité calorifique du corps
T_{initiale} : température initiale du corps
T_{finale} : température finale du corps

D'où :

m_A \times c_A \times \left( T_{A,finale} - T_{A,initiale}\right) + m_E \times c_E \times \left( T_{E,finale} - T_{E,initiale}\right) = 0 J

Etape 3

Rappeler la condition d'équilibre thermique

On rappelle la condition d'équilibre thermique : après l'échange thermique les corps en contact sont à la même température.

Après l'échange thermique, l'eau et le bloc d'aluminium sont à la même température, on a donc :

T_{A,finale} = T_{E,finale} = T_{finale}

Etape 4

Réécrire la relation liant les température initiales et finales

On peut alors réécrire la relation liant les température initiales et finales, sachant que la température finale est la même pour tous les corps.

On obtient :

m_A \times c_A \times \left( T_{finale} - T_{A,initiale}\right) + m_E \times c_E \times \left( T_{finale} - T_{E,initiale}\right) = 0 J

Etape 5

Isoler la grandeur recherchée

On isole la grandeur recherchée.

La température finale du bloc d'aluminium et de l'eau a donc pour expression :

T_{finale} = \dfrac{m_A \times c_A \times T_{A,initiale} + m_E \times c_E \times T_{E,initiale}}{{m_A \times c_A + m_E \times c_E }}

Etape 6

Repérer les grandeurs données

On repère les grandeurs données dans l'énoncé, parmi :

Les températures initiales et finales des corps
Les masses des corps
Les capacités calorifiques des corps

L'énoncé donne :

La température initiale du bloc d'aluminium T_{A, initiale} = 100 °C et celle de l'eau T_{E, initiale} = 18{,}2 °C
La masse du bloc d'aluminium m_{A} = 125 g et celle de l'eau m_{A} = 350 g
Les capacités calorifiques de l'aluminium c_A = 897 J.kg^-1.K^-1 et celle de l'eau c_E = 4{,}185 \times 10^3 J.kg^-1.K^-1

Etape 7

Repérer les unités des capacités calorifiques

On repère les unités de masse et de température des capacités calorifiques données dans l'énoncé car, dans l'application numérique, il faudra exprimer les masses et températures des corps dans ces mêmes unités.

Dans l'énoncé, les capacités calorifiques sont exprimées en J.kg^-1.K^-1.

Dans l'application numérique :

Les masses des corps doivent donc être exprimées en kilogrammes (kg).
Les températures des corps doivent donc être exprimées en Kelvins (K).

Etape 8

Convertir, le cas échéant

On convertit, le cas échéant, les grandeurs données afin que les masses et températures des corps soient exprimées dans les unités utilisées pour les capacités calorifiques.

Ici, les masses des corps doivent être exprimées en kilogrammes (kg). Or, elles sont données en grammes (g), il faut donc les convertir :

m_{A} = 125 g, soit : m_{A} = 125 \times 10^{-3} kg
m_{E} = 350 g, soit : m_{E} = 350 \times 10^{-3} kg

Les températures des corps doivent être exprimées en Kelvins (K). Or, elles sont données en degrés Celsius (°C), il faut donc les convertir :

T_{A, initiale} = 100 °C, soit T_{A, initiale} = 100 + 273{,}15 = 373 K
T_{E, initiale} = 18{,}2 °C, soit T_{E, initiale} = 18{,}2 + 273{,}15 = 291{,}4 K

Etape 9

Effectuer l'application numérique

On effectue l'application numérique, le résultat étant alors la température finale des corps en équilibre thermique, exprimée dans l'unité de température utilisée dans les capacités calorifiques et devant être écrit avec autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.

On obtient :

T_{finale} = \dfrac{125 \times 10^{-3} \times 897 \times 373 + 350 \times 10^{-3} \times 4{,}185 \times 10^{3} \times291{,}4}{{{125 \times 10^{-3} \times 897 + 350 \times 10^{-3} \times 4{,}185 \times 10^{3}}}}

T_{finale} = 297 K

Etape 10

Convertir, le cas échéant, la température trouvée en degrés Celsius

Si l'énoncé le demande, on convertit la température trouvée en degrés Celsius, sachant que : T_{\left(°C\right)} = T_{\left(K\right)} - 273{,}15. La température exprimée en degrés Celsius devant être écrite avec la même précision (donc le même nombre de chiffres après la virgule) que la température exprimée en Kelvins.

On sait que :

T_{\left(°C\right)} = T_{\left(K\right)} - 273{,}15